2016年高考数学理试题分类汇编
立体几何
一、选择题
1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
【答案】C
3、（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几
28π
何体的体积是3，则它的表面积是
（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π
【答案】A
4、（2016年全国I高考）平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，α//平面CB1D1，αI平面ABCD=m，αI平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为
（A）【答案】A
5、（2016年全国II高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
A.
1323 （B） （C） （D）
3223111 B. C. D.1 632【答案】A
2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π 【答案】C
6、（2016年全国III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面
体的表面积为
（A）
1212122+π （B）+π （C）+π （D）1+π 3333366
3 33、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四
【答案】棱锥的体积为_______m3.
（A）18?365 （B）54?185 （C）90 （D）81 【答案】B
AB?BC，AB?6，7、（2016年全国III高考）在封闭的直三棱柱ABC?A1B1C1内有一个体积为V的球，若
BC?8，AA1?3，则V的最大值是
（A）4π （B）【答案】B
二、填空题
1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD的边长为3，BD1与底面所成角的
【答案】2
4、（2016年全国II高考） ?,?是两个平面，m,n是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m?n,m??,n//?，那么???.
9? 2 （C）6π （D）
32? 3
2大小为arctan，则该正四棱柱的高等于____________
3（2）如果m??,n//?，那么m?n. （3）如果?//?,m??，那么m//?.
（4）如果m//n,?//?，那么m与?所成的角和n与?所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④
【答案】22 2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．
5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm，体积是 cm.
2
3
∵AB?AD，AB?面ABCD
∴AB?面PAD ∵PD?面PAD ∴AB?PD
【答案】72 32 6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .
又PD?PA
z∴PD?面PAB
⑵取AD中点为O，连结CO，PO ∵CD?AC?5 DPAOBCxy
1【答案】
2
三、解答题
1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAD?平面ABCD，PA?PD，PA?PD，
∴CO?AD ∵PA?PD ∴PO?AD
以O为原点，如图建系
易知P(0，0，1)，B(11，，0)，D(0，?1，0)，C(2，0，0)，
AB?AD，
AB?1，AD?2，AC?CD?5. ????????????????，，?1)，PD?(0，?1，?1)，PC?(2，0，?1)，CD?(?2，?1，0) 则PB?(11??设n为面PDC的法向量，令n?(x0，y0,1) ??????n?PD?0??1???n??，?1,1?，则PB与面PCD夹角?有 ???????2???n?PC?0??????????n?PBsin??cos?n,PB????????nPB1?1?121?1?1?34?3 3
（1）求证：PD?平面PAB；
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在点M，使得BM//平面PCD？若存在，求【解】⑴∵面PAD?面ABCD?AD
AM的值；若不存在，说明理由. AP面PAD?面ABCD
⑶假设存在M点使得BM∥面PCD
AM设??，M?0,y',z'?
AP?????????由（2）知A?0,1,0?，P?0,0,1?，AP??0,?1,1?，B?1,1,0?，AM??0,y'?1,z'? ?????????有AM??AP?M?0,1??,?? ?????∴BM???1,??,??
???∵BM∥面PCD，n为PCD的法向量 ??????∴BM?n?0
1即??????0
21∴?=
4
∴综上，存在M点，即当
AM1?时，M点即为所求. AP4于是得平面FBC的一个法向量为n1?(?3,3,1)， 又平面ABC的一个法向量为n2?(0,0,1)， 设二面角F-BC-A为?， 则cos??2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的
一条母线.
（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； （II）已知EF=FB=
n1?n2n1?n2?17． ?777． 71AC=23，AB=BC.求二面角F?BC?A的余弦值. 2二面角F-BC-A的余弦值为
?3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形AAOO11（及其内部）绕的OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC长
【解】(Ⅰ)连结FC，取FC的中点M，连结GM,HM， 因为GM//EF，EF在上底面内，GM不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC； 又因为MH//BC，BC?平面ABC，
E G C A z E O， 为
2??，?A1B1长为，其中B1与C在平面AAOO11的同侧。 33A1 B1 F H B
F （1）求三棱锥C?O1A1B1的体积；
（2）求异面直线BC1与AA1所成的角的大小。
C O B y 【解析】
试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高h?1，底面半径r?1． 确定??1?1?1?A MH?平面ABC，
所以MH//平面ABC； 所以平面GHM//平面ABC，
由GH?平面GHM，所以GH//平面ABC． (Ⅱ) 连结OB，?AB?BC?OA?OB
以为O原点，分别以OA,OB,OO?为x,y,z轴， 建立空间直角坐标系．
C 1?EF?FB?AC?23,AB?BC，
2OO??BF?(BO?FO)?3，
22A x ?3．计算S??1?1?1后即得.
（2）设过点?1的母线与下底面交于点?，根据??1//??1，知?C确??1或其补角为直线?1C与??1所成的角．定?C???于是有A(23,0,0)，C(-23,0,0)，B(0,23,0)，F(0,3,3)， 可得平面FBC中的向量BF?(0,-3,3)，CB?(23,23,0),
?3，C??1．得出?C?1???4．
试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高h?1，底面半径r?1．
??的长为?，可知??????． 由?111113313， S??1?1?1??1?1??1?1?sin??1?1?1?2413． VC??1?1?1?S??1?1?1?h?312（2）设过点?1的母线与下底面交于点?，则??1//??1， 所以?C?1?或其补角为直线?1C与??1所成的角．
【解】（I）延长AB，交直线CD于点M，
∵E为AD中点，
1 ∴AE?ED=AD，
21 ∵BC?CD=AD，
2 ∴ED?BC，
∵AD//BC 即 ED//BC，
∴四边形BCDE为平行四边形，BE//CD， ∵AB?CD?M， ∴M?CD， ∴CM//BE， ∵BE?面PBE， ∴CM//面PBE，
∵M?AB，AB?面PAB，
∴M?面PAB 故在面PAB上可找到一点M使得CM//面PBE.
（II）过A作AF?EC交EC于点F，连结PF，过A作AG?PF交PF于点G， ∵∠PAB?90?，PA与CD所成角为90?， ∴PA?AB，PA?CD， ∵AB?CD=M，
∴PA?ABCD， ∵EC?面ABCD， ∴PA?EC，
∵EC?AF且AF?AP?A， ∴CE?面PAF， ∵AG?面PAF， ∴AG?CE，
∵AG?PF且AG?AF?A， ∴AG?面PFC，
∴∠APF为所求PA与面PCE所成的角， ∵PA?面ABCD，∠ADC=90?即AD?DC. ∴∠PDA为二面角P?CD?A所成的平面角, 由题意可得∠PDA=45?，而∠PAD=90?, ∴PA?AD,
∵BC?CD,四边形BCDE是平行四边形，∠ADM=90?， ∴四边形BCDE是正方形， ∴∠BEC?45?，
∴∠AEF=∠BEC?45?，
∵∠AFE?90?，
2AE， ∴AF=22ADAF2， ∴4tan∠APF==?APAP41 ∴sin∠APF=.
3?C长为由?2?2?，可知???C?， 33又???????1?1?1??3，所以?C????3，
从而?C??为等边三角形，得C??1． 因为?1??平面??C，所以?1??C?． 在?C?1?中，因为??1?C??2，C??1，?1??1，所以?C?1???4，
从而直线?1C与??1所成的角的大小为
?． 4
4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥P?ABCD中，AD//BC，?ADC??PAB?90?，BC?CD?为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90?.
（I）在平面PAB内找一点M，使得直线CM//平面PBE，
并说明理由；
（II）若二面角P?CD?A的大小为45?，求直线PA与
平面PCE所成角的正弦值.
1AD，E2
5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.
（I）求证：EG∥平面ADF；
（II）求二面角O-EF-C的正弦值； （III）设H为线段AF上的点，且AH=
EzF2HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值. 3BOxCDGHAIy
B0，?2，0，C
【解析】（Ⅰ）证明：找到AD中点I，连结FI，
∵矩形OBEF,∴EFOB
∵G、I是中点，∴GI是△ABD的中位线
1∴GI∥BD且GI?BD
2∵O是正方形ABCD中心
1∴OB?BD
2∴EF∥GI且EF=GI
∴四边形EFIG是平行四边形 ∴EG∥FI
∵FI?面ADF ∴EG∥面ADF
（Ⅱ）O?EF?C正弦值
解：如图所示建立空间直角坐标系O?xyz
∥??设面CEF的法向量n1??x，y，z? ???????n1?EF??x，y，z??0，2，0?2y?0? ???????0，2??2x?2z?0?n1?CF??x，y，z???2，????2，0，0，E0，?2，2，F?0，0，2?
????????x?2?得：?y?0
?z?1???1 ∴n1?2，0，??∵OC?面OEF，
???∴面OEF的法向量n2??1，0，0?
??????2n1?n2??????6cos?n1，n2????? ?????3?13n1n2??????6?3sin?n1，n2??1??? ??3?3??2（Ⅲ）∵AH?HF
3?????2????2?224?2，0，2??，0，∴AH?AF???5? 555??z? 设H?x，y，2????????224?AH?x?2，y，z?，0，∴???5? 5????
??32?x?5??得：?y?0
?4?z?5???????324?BH????5，2，5??
??64????????BH?n1???????755 cos?BH，n2??????????2122BHn13?5
??AFD?90，6、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，
且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60．
?⑵ 由⑴知?DFE??CEF?60? ∵AB∥EF AB?平面EFDC
EF?平面EFDC
∴AB∥平面ABCD
AB?平面ABCD
∵面ABCD?面EFDC?CD
（I）证明：平面ABEF?平面EFDC； （II）求二面角E-BC-A的余弦值． 【解析】 ⑴
∵ABEF为正方形 ∴AF?EF ∵?AFD?90? ∴AF?DF ∵DF?EF=F
∴AF?面EFDC AF?面ABEF ∴平面ABEF?平面EFDC
∴AB∥CD,∴CD∥EF ∴四边形EFDC为等腰梯形
以E为原点，如图建立坐标系，设FD?a
E?0，0，0??a3?B?0，2a，0? C?，0，a??2?2??A?2a，a2，?0
?????a?????3????，?2a，a，EB??0，2a，0?，BC??AB???2a，0，0? ??2?2????设面BEC法向量为m??x，y，z?.
???????2a?y1?0???m?EB?0，即?a ???????3a?z1?0??x1?2ay1???m?BC?0?22x1?3，y1?0，z1??1 ??m??3，0，?1
??ABC设面法向量为n??x2，y2，z2?
??????a3?n?BC=0az2?0?x2?2ay2??.即?2 ?2??????2ax?0??n?AB?0?2∴DH?D?H?3， ∴OD??OH?D'H， ∴D'H?OH．
222x2?0，y2?3，z2?4 ?n?0，3，4
又∵OHIEF?H， ∴D'H?面ABCD． ⑵建立如图坐标系H?xyz．
??设二面角E?BC?A的大小为?.
???m?n?4219 cos????????193?1?3?16m?n∴二面角E?BC?A的余弦值为?219 19
7、（2016年全国II高考）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB?5,AC?6，点E,F分别在
AD,CD上，AE?CF?5'，EF交BD于点H．将?DEF沿EF折到?DEF位置，OD??10． 4B?5，0，0?，C?1，3，0?，D'?0，0，3?，A?1，?3，0?，
uuuruuuruuurAB??4，3，0?，AD'???1，3，3?，AC??0，6，0?， ur设面ABD'法向量n1??x，y，z?，
（Ⅰ）证明：D?H?平面ABCD； （Ⅱ）求二面角B?D?A?C的正弦值．
????????x?3?n?AB?0?4x?3y?0?1?由???得?，取?y??4， ????????z?5?n1?AD??0??x?3y?3z?0?ur∴n1??3，?4，5?．
uur同理可得面AD'C的法向量n2??3，0，1?，
AECF5?【解析】⑴证明：∵AE?CF?，∴，
4ADCD∴EF∥AC．
∵四边形ABCD为菱形，∴AC?BD， ∴EF?BD，∴EF?DH，∴EF?D?H． ∵AC?6，∴AO?3；
又AB?5，AO?OB，∴OB?4，
uruurn1?n29?575?∴cos??u， ruur?25n1n252?10∴sin??295． 25 8、（2016年全国III高考）如图，四棱锥P?ABC中，PA?地面ABCD，AD?BC，AB?AD?AC?3，
AE?OD?1， ∴OH?AOPA?BC?4，M为线段AD上一点，AM?2MD，N为PC的中点．
（I）证明MN?平面PAB；
（II）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
9、（2016年浙江高考）如图,在三棱台ABC?DEF中,平面BCFE?平面
ABC,?ACB=90?,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(I)求证：EF⊥平面ACFD；
(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
?2x?4z?0?n?PM?0??设n?(x,y,z)为平面PMN的法向量，则?，即?5，可取n?(0,2,1)，
x?y?2z?0???n?PN?0?2于是|cos?n,AN?|?|n?AN|85. ?|n||AN|25
（II）方法一：
过点F作FQ???，连结?Q．
因为?F?平面?C?，所以?F???，则???平面?QF，所以?Q???．
所以，??QF是二面角???D?F的平面角．
在Rt??C?中，?C?3，C??2，得FQ?313． 13
在Rt??QF中，FQ?3133，?F?3，得cos??QF?． 1343． 4所以，二面角???D?F的平面角的余弦值为