八年级数学下册期末专题复习和训练：几何计算题、证明题
一、题型特点：四边形（五种常见的）、三角形的中位线、矩形的推论穿插其中，?? 二、常见新型题型：动点、折纸、开放（条件、结论开放）、探索性（数量关系、位置关系），?? 三、图形搭建：三角形中搭建四边形、四边形中搭建三角形、组合图形，??
下面我根据图形搭建结构特征进行分类，列举一部分和本期几何部分（主要是平行四边形）的计算题、证明题，让我们共同来探究、解析.
一、以平行四边形搭建起来的图形
例1.ABCD中，AB=4cm，AD=7cm, ∠ABC的平分线交AD于E,交CO的延长线于F,求DF的长？
分析：
本题要求的DF长的途径有两条：其一.DF?CF?CD；其二. DF?DE?AD?AE. 采取第一途径可以少一些环节，根据平行四边形的性质和角的平分线的定义可以 F比较容易得出BCF是等腰三角形，即CF?CB；由于平行四边形
的对边相等可以得出:CD?AB?4cm,CB?AD?7cm.故DF?7?4?3cm AED
例2.△ABC、△ADE都是正三角形，CD=BF. BC（1）、求证：△ACD≌△CBF （2）、当D运动至BC边上的何处时，四边形CDEF为平行四边形，且∠DEF=30°,并证明你的结
论. A 分析：
EF⑴.证明△ACD≌△CBF已经有了CD=BF，而△ABC、△ADE都是正三角形又可以给我们提供CA?CB,?ACD??CBF?60条件，根据B
DC“SAS”判定方法可以证得△ACD≌△CBF.
⑵.根据⑴问的△ACD≌△CBF得出AD?CF,又△ADE是正三角形的DE?CF,所以CF?DE;要使四边形CDEF为平行四边形可以证CFDE.
若四边形CDEF为平行四边形，则?FCD??DEF30?；当?EDB?30时，就有?FCD??EDB,
此时就能证得CFDE.由正△ADE可以得出?ADE?60，则?ADB?60?30?90,AD?BC;由于等腰三角形具有“三线合一”的特征，所以当D运动至BC边上中点时，四边形CDEF为平
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行四边形.
练习： AD1.如图,在□ABCD中，AE⊥BC,AF⊥CD,∠EAF=60°，则∠B=（ ）； 2.□ABCD的周长为60ｃｍ，对角线AC、BD交于点O,△AOB的周 F长比△BOC的周长多10ｃｍ，则AD=（ ），DC=( )；
BEC3.□ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E点，若∠ABE=25°CD=5cm,BC=7cm,那么∠ABE=（ ），∠BED=（ ），AE=（ ）.
DC4. 已知□ABCD，BE=AB,BF =BD. 求证：CD=CM M
ABEFA5. △ABC是正三角形，AE=BD,DF∥CE,EF∥CD. FEG求证: △AGF ≌△EAC
BDC6.以△ABC的三边在BC的同侧做等边△EBC、等边△FBA、等边△DAC. E⑴.判断四边形FADE的形状？
D⑵.当∠BAC为多少度时，四边形FADE为矩形？ F⑶.当∠BAC为多少度时，四边形FADE不存在？ A
BC7. 有一块如图的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm,BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能根据测得的数据计算AD的长？
二、以矩形搭建起来的图形
例1.D为□ABCD外一点，∠APC=∠BPD=90°.求证: □ABCD为矩形
P AD分析：判定矩形的方法主要有三种.但在已知了四边形ABCD是平行
四边形的情况下，要判定
ABCD是矩形的途径有两条：其一、找 O一内角是直角；其二、找出对角线相等，即找出AC?BD.
BC由于本题的另一主要条件是∠APC=∠BPD=90°，要根据题中条件和图形位置转换成四边形的内角为90°比较困难，所以本题我们先想办法找出对角线相等，即找出AC?BD.
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我们发现本题在RtAPC和RtBPD的两斜边的交点O恰好是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形对角线互相平分可知：O同时是AC、BD的中点；所以自然联想到连结PO这
AC?2PO 条两直角三角形公共的中线（见图）.根据以上条件，在RtAPC和RtBPD中就有：
3. 矩形ABCD中，DF平分∠ADC, ∠BDF=15°. 求∠DOC与∠COF的度数？ ADBD?2PO,故AC?BD,由对角线相等的平行四边形是矩形，可判定ABCD是矩形.
例2. 矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PE⊥AC，PF⊥BD， ⑴.求PE+PF的值？
⑵.若点P是AD上的一动点（不与A、D重合），还是作PE⊥AC，PF⊥BD，则PE+PF的值是否会发生变化？为什么？
分析：求线段的和或差我们会联想到证明中的“截长补短”法，但本题不具备这方面的条件. 本题从面积入手可以破题：如图连结PO,只要我们能求出APO和DPO的面积之和问题便可以获得解决.
A P D
略解：⑴.∵四边形ABCD是矩形
∴?BAD?90,OA?12AC,OD?1E F 2BD, AC?BD
O ∴OA?OD?12BD
B C 在RtABD中，AB=3，AD=4；并且根据勾股定理有：BD2?AB2?AD2，即BD2?32?42，又BD?0 ，所以BD=5.
∴OA?OD?11S2BD=2?5=2.5
∵AOP?12OA?PE,SDOP?12OD?PF，且SAOD?14S矩形ABCD?14?3?4?3(过程略)
∴SAOP+SDOP?12OA?PE+12OD?PF=SAOD,即12?2.5?PE?12?2.5?PF?3
∴PE?PF?125.
⑵.不会发生变化.这是因为AOD、AOP、POD的面积以及作为底边的OA、OD不会发生变化.
AFED练习：
1. 矩形ABCD中，AF=DE.求证：BE=CF ADEF BCO2. 矩形ABCD中，BE⊥AC，CF⊥BD.求证：BE=CF
BC八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 3页（共 8页）
O4、矩形ABCD中，CE∥BD，则△ACE为等腰三角形吗？为什么？ BC
E
5.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为多少？
AC'D B'F
三、以菱形搭建起来的图形
BEC例1. △ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，AH⊥BC于H交BD于E,DF⊥BC于F,求证：四边形AEFD是菱形 A
分析：判定菱形方法主要有三种，三种方法都可以使本题获得解决.
下面我们选择“四边都相等的四边形是菱形”这一途径来分析. E D 可以先根据角平分线的性质得出AD?FD,进而容易证明 ABD≌AFD,所以BA?BF;再证明ABE≌AFE
B H F C 可以得到EA?EF（也可以利用等腰三角形的“三线合一”）；利用等角的余角相等可以推出 ?ADE??AED,所以EA?DA,于是AE?EF?FD?DA,故四边形AEFD是菱形.
例2.（2012中考·自贡） 如图所示，在菱形ABCD中，AB?4,?BAD?120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合． ⑴.证明不论E、F在BC、CDD上如何滑动，总有BE?CF?
⑵.当点E、F在BC、CD上滑动时，探讨四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值. 分析：
⑴.先求证AB?AC，进而求证ABC、ACD为等边三角形，得?BAC=60，AC?AB进而求证ABE≌ACF，即可求得BE?CF ⑵.根据
ABE≌ACF可得
SABE?SACF;根据S四边形AECF=SAEC?SACF=
SAEC?SBAE=SABC即可解得.
第 4页 （共 8页） ⑴.证明：连接AC，如下图所示.
∵四边形ABCD为菱形，?BAD?120 ∴?1??EAC?60,?2??EAC?60 ∴?1??2 ∵?BAD?120
A∴?ABC?60
12∴ABC和ACD都为等边三角形 ∴?4=60，AC?AB BD??1??2EH3∴在ABE和
ACF中，??AB?AC
F?C??ABC??3∴
ABE≌ACF?ASA? ∴BE?CF
⑵.解：四边形AECF的面积不变.
理由：由⑴得
ABE≌ACF，则
SABE?SACF.
故S四边形AECF=SAEC?SACF=SAEC?SBAE=SABC 是定值.
作AH?BC于H点，则BH?2来源:学科网]
S四边形ABCD＝S
ABC=12BC?AH?12BCAB2?BH2?43
练习：
1. 已知
ABCD，添加下列一个条件：①.AC⊥BD；②.∠BAD=90°；③.AB=BC；④.AC=BD.其中能使
ABCD是菱形的为（ ） A．①③ B．②③ C．④ D.①②③
A 2.菱形ABCD中，E为AB上的一点，CE交BD于F. E D 求证：⑴.△ABF≌△CBF；⑵.∠BEC=∠DAF.
B F C 3. 菱形的对角线的比是2：3，周长为4130cm，求菱形的面积？
AED4. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与
AD、AC、BC分别交于点E、O、F求证：四边形AFCE是菱形 . OB
FCAFD
5. 如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，点E、F分别是AB、AD上
E八数下期期末专题复习和训练：几何计算、证明题 第 5页（共 8页） BC
的动点，且满足BE=AF，接连EF、EC、CF．求证：△EFC是等边三角形 6. 9、Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分 B BC，且AF=CE.求证：四边形ACEF为菱形
D E F
四、以正方形搭建起来的图形 例1.正方形ABCD中，△DCE是等边三角形.
AD⑴.求∠AED的度数？ FC A E⑵.若OF=1，求AB的长？
O BC分析：⑴.根据正方形和等边三角形的性质综合可以得出DA?DE,?ADE?90?60?150,所
以得出：?DAE??DEA,所以?AED??DAE?12?180?150??12?30?15.
⑵.根据正方形的性质综合可以得出AC?BD,在RtAOF中，?FAO?45?15?30,OF?1
所以AF?2OF?2,根据勾股定理可以求出OA?22?12?3,所以AC?BD?23.根据勾股
定理或者面积公式可以得出：AB2?12AC?BD?12?23?23?6.又AB?0.?AB?6.
例2、正方形ABCD的面积为64，DE=2,P为AC上的一动点； A D
求PD+PE的最小值？ P 分析:
E
在一条直线同侧的两点，到直线某点的距离之和最小，按如图所
P'示作E的对称点E'（根据正方形的对称性，对称点E'恰好落在边BC上）连结DE'交AC于点P',根据轴对称的性质DE'?DP'?E'P'?DP'?EP'
B E'C
,此时和是最小的.
根据正方形ABCD的面积为64可求得边长DC?8,所以CE?CD?DE?8?2?6。所以CE'?6 根据正方形的性质和勾股定理可以求得：DE'?CD2?E'C2?82?62?10;即PD+PE的最小值为10.
练习:
1.正方形ABCD中，∠DAF=25°，如图所示则∠BEC=( ).
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2.在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC,垂足分别为E、F. ⑴.求证:△BOE≌△CDF ⑵.当△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形？
E
AHDG
3. 如图，边长为3的正方形ABCD绕点按顺时针方向旋转30°后 F得到的正方形EFCG交AD于点H,S四边形HFCD=（ ）. BC
4. 正方形ABCD中，其面积为1，△PDC为正三角形，求△PBD的面积？
5.E为边长为1的正方形ABCD的对角线上的一点，且BE=BC,P为 CE上的一动点，PQ⊥BC，PR⊥BE，求PQ+PR的值？
6. 正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向外（逆时针）旋转一定角度， 连结BE、GD（见图）.
F⑴.求证：BE?GD
GE⑵.如果改成正方形AEFG绕着正方形ABCD点A向内（顺时针）旋
转一定角度，连结BE、GD.那么BE?GD这个结论还成立吗？请画出示 AD意图，并说明理由.
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