2001-2012年江苏南通中考数学试题分类解析汇编（12专题）
专题6：函数的图象与性质
一、选择题
1.（江苏省南通市2002年3分）抛物线y=2x－4x＋7的顶点坐标是【 】
A．（－1，13） B．（－1，5） C．（1，9） D．（1，5） 【答案】D。
【考点】二次函数的性质。
【分析】利用公式法或利用配方法可求出y=2x－4x＋7=2（x－1）+5的顶点的坐标（1，5）。故选D。 2. （江苏省南通市2003年3分）已知反比例函数y?图象大致为 【 】
2
2
2
k则二次函数y?2kx2?x?k2的 的图象如图所示，
x
A． 【答案】D。
B． C． D．
【考点】二次函数的图象，反比例函数的图象。
【分析】由反比例函数的图象得到k的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致：
k 的图象经过二、四象限，∴k＜0。 xb1 ∴抛物线开口向下，对称轴x???＜0，即对称轴在y轴的左边。
2a4k∵函数y?故选D。
13. （江苏省南通市2004年3分）抛物线y??x2?x?4的对称轴是【 】
4A、x＝－2 【答案】B。
1
B、x＝2 C、x＝－4 D、x＝4
【考点】二次函数的性质。
【分析】可以用配方法将抛物线的一般式写成顶点式，或者用对称轴公式x??b求解： 2a112∵抛物线y??x2?x?4=??x?2??3，
441∴抛物线y??x2?x?4的对称轴是直线x=2。故选B。
44. （江苏省南通市大纲卷2005年3分）二次函数y?ax2?bx?c的图象如图所示, 若M?4a?2b?c,N?a?b?c,P?4a?2b,则【 】
A、M?0,N?0,P?0 C、M?0,N?0,P?0
【答案】D。
【考点】二次函数图象与系数的关系。
【分析】∵当 x=2时，y?4a?2b?c<0，∴可以判断M?4a?2b?c<0；
∵当x=－1时，y?a?b?c>0，∴可以判断N?a?b?c>0； ∵抛物线的开口向上，对称轴在x=1右侧，∴a＞0，对称轴x=?∴可以判断P?4a?2b=2?2a?b?<0。故选D。
5. （江苏省南通市课标卷2005年3分）已知抛物线y?x2?bx?c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是【 】
B、M?0,N?0,P?0 D、M?0,N?0,P?0
b>1，即2a?b<0。 2a
A．－1＜x＜4 B．－1＜x＜3 C．x＜－1或 x＞4 D．x＜－1或 x＞3
2
【答案】B。
【考点】二次函数的图象。
【分析】根据图象，已知抛物线的对称轴x=1，与x轴的一个交点（－1，0），根据抛物线的对称性可知，另一交点为（3，0）。因为抛物线开口向上，所以当y＜0时，－1＜x＜3。故选B。
6. （江苏省南通市大纲卷2006年3分）已知二次函数y=2x+9x+34，当自变量x取两个不同的值x1，x2时，函数值相等，则当自变量x取x1+x2时的函数值与【 】
A、x=1时的函数值相等 C、x=
B、x=0时的函数值相等
2
1时的函数值相等 49D、x=?时的函数值相等
4【答案】B。
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的对称性。
【分析】∵当自变量x取两个不同的值x1、x2时，函数值相等，则以x1、x2为横坐标的两点关于直线x=?对称，
94x1?x299=?，所以x1?x2=?。 2429∵根据抛物线的对称性可知x=?与x=0时函数值相等。故选B。
2∴
7. （江苏省南通市课标卷2006年3分）如图，设直线y=kx（k＜0）与双曲线y??B（x2，y2）两点，则x1y2－3x2y1的值为【 】
5 相交于A（x1，y1）x
A．－10 B．－5 C．5 D．10 【答案】A。
【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可：
由题意知，直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=?原点对称，
3
5交于两点，则这两点关于x
∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。 又∵点A、点B在双曲线y=?5上，∴x1y1=－5，x2y2=－5。 x∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×（－5）+7×（－5）=－10。故选A。
8. （江苏省南通市2007年4分）如图，把直线y＝－2x向上平移后得到直线AB，直线AB经过点(m， n)，且2m＋n＝6，则直线AB的解析式是【 】．
A、y＝－2x－3 B、y＝－2x－6 C、y＝－2x＋3 D、y＝－2x＋6
【答案】D。
【考点】一次函数图象与平移变换。
【分析】平移时k的值不变，只有b发生变化．再把相应的点代入即可：
∵原直线的k=－2，向上平移后得到了新直线，∴新直线的k=－2。
∵直线AB经过点(m，n)，且2m＋n＝6，即n＝6－2 m，∴直线AB经过点（m，6－2 m）。 设新直线的解析式为y=－2x＋b1， ∴6－2 m =－2 m ＋b1，则b1=6。
∴直线AB的解析式是y=－2x＋6。故选D。
9.（江苏省南通市2008年4分）用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个 一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是 【 】
4
?x?y?2?0?2x?y?1?0?x?y?2?0?2x?y?1?0A．? B．? C．? D．?
3x?2y?1?03x?2y?1?02x?y?1?03x?2y?5?0????【答案】D。
【考点】一次函数与二元一次方程（组），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此本题应先用待定系数法求出两条直线的解析式，联立两个函数解析式所组成的方程组即为所求的方程组：
根据给出的图象上的点的坐标，（0，-1）、（1，1）、（0，2）； 分别求出图中两条直线的解析式为y=2x－1，y=－x+2， ?x?y?2?0因此所解的二元一次方程组是?。故选D。
2x?y?1?0?10. （江苏省南通市2010年3分）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，2），点Q在y轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q共有【 】
A．5个 【答案】B。
【考点】等腰三角形的判定，坐标与图形性质。
【分析】根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的Q点，选择正确答案，注意求解有关等腰三角形问题时一定要注意分情况讨论：
如图：满足条件的点Q共有（0，2）（0，2 2 ）（0，-2 2 ）（0，4）。
B．4个
C．3个
D．2个
故选B。
11. （江苏省南通市2011年3分）甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A、B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s(km)，甲出发后的时间为t(h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是【 】
5
A．甲的速度是4km/h B．乙的速度是10km/h C．乙比甲晚出发1h D．甲比乙晚到B地3h 【答案】C。
【考点】一次函数的图象。
【分析】根据所给的一次函数图象有：A.甲的速度是
2020选项错误；B. 乙的速度是?5km/h，?20km/h，
41选项错误；C．乙比甲晚出发1?0?1h，选项正确；D．甲比乙晚到B地4?2?2h，选项错误。故选C。 3＋2m
12.（2012江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y＝上，且y1＞y2，则m的取
x值范围是【 】
3 3
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞－ D．m＜－ 22【答案】D。
【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，解一元一次不等式。
3＋2m
【分析】将A（－1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y=，求出 y1与y2的表达式：
x y1??2m?3，y2?3?2m 。 2 3 3?2m 由y1＞y2得， ，解得m＜－。故选D。 ?2m?3>2213.（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的
点，
则(2m－n＋3)的值等于 ▲ ． 【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
2
?k?2??k?b??3∴ ? ，解得? 。
b??1 b??1??
6
∴直线l的解析式为：y=2x－1。
∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。 ∴(2m－n＋3)=（1+3）2=16。
二、填空题
1. （2001江苏南通2分）抛物线y?x2?4x?5的顶点坐标是 ▲ _。 【答案】（2，1）。 【考点】二次函数的性质。
【分析】将抛物线y?x2?4x?5变为项点式即可求出顶点坐标（或用公式计算）： ∵y?x2?4x?5??x?2??1，∴抛物线y?x2?4x?5的顶点坐标是（2，1）。 2.（2001江苏南通3分）设点P1（x1，y1）和P（x2，y2）都在反比例函数y=?y1 ▲ _y2（填“＜”或“＞”。 【答案】＜。
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征。
【分析】结合已知条件和反比例函数的性质，画出函数图象，根据反比例函数图象上点的特性，即可看出y1与y2的大小关：
∵双曲线y=?22
2的图象上，且x1 3.（江苏省南通市2002年2分）写出具有性质“图象的两个分支分别在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大”的一个反比例函数 ▲ ． 【答案】y??2（答案不唯一）。 x【考点】反比例函数的性质。 k?k?0?，当k＞0时，图象是位于一、三象限；当k＜0时，图象是位于二、 x2四象限。根据题意，所写函数只要k＜0即可：如y??（答案不唯一）。 x【分析】对于反比例函数y?4. （江苏省南通市2004年3分）如图，如图，弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间是一次函数关系，则该弹簧不挂物体时的长度为 ▲ cm 7 【答案】12。 【考点】一次函数的应用，待定系数法。 5k?b?14.5 k?10.5 ? ? 【分析】设解析式为y=kx+b，把（5，14.5），（20，22）代入得：?，解之得?。所 20k?b?22b?12??以弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系为y=0.5x+12。当x=0时，y=12．即弹簧不挂物体时的长度为12cm。 5. （江苏省南通市大纲卷2005年3分）如图, △P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1、P2 在y?4(x?0)的图象上,斜边OA1、A1A2都在x轴上,则点A2的坐标是 ▲ . x 【答案】（42 ，0）。 【考点】等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程。 【分析】如图，作P1B⊥y轴于点B，P1A⊥x轴于点A，P2C⊥y轴于点C，P2D⊥x轴于点D。 ∵△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形， ∴AP1=BP1，A1D=DA2=DP2， ∵点P1在y?4(x?0)的图象上，∴OA?OB=4。 x∴OA=OB=AA1=2，OA1=4。 设A1D=x， ∵点P2在y?4(x?0)的图象上，∴OD?OC=4，即（4+x）x=4。 x8 解得x1??2?2 2，x2??2?2 2（∵x?0，∴舍去）。 则OA2?4?2x?4?4?4 2 ?4 2。∴A2坐标为（42 ，0）。 6. （江苏省南通市课标卷2005年3分）如图，△P1O A1、△P2 A1 A2是等腰直角三角形，点P1、P2在函数 y?4(x?0)的图象上，斜边OA1、A1A2都在x轴上，则点A2的坐标是 ▲ ． x7. （江苏省南通市大纲卷2006年3分）如图，直线y=kx（k＞0）与双曲线y=y2）两点，则2x1y2﹣7x2y1的值等于 ▲ ． 4交于A（x1，y1），B（x2，x 9 【答案】20。 【考点】反比例函数图象的对称性，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标特点解答即可： 由题意知，直线y=kx（k＞0）过原点和一、三象限，且与双曲线y=点对称， ∴x1=﹣x2，y1=﹣y2。 又∵点A、点B在双曲线y=4交于两点，则这两点关于原x4上，∴x1y1=4，x2y2=4。 x∴原式=﹣2x2y2+7x2y2=﹣2×4+7×4=20。 8. （江苏省南通市课标卷2006年3分）请写出一个二次函数y=ax＋bx＋c，使它同时具有如下性质：①图象关于直线x=1对称；②当x=2时，y＞0；③当x=－2时，y＜0．答： ▲ ．（答案不唯一） 【答案】y=－x＋2x－3（答案不唯一）。 【考点】二次函数的性质 【分析】根据二次函数的性质， ∵图象关于直线x=1对称，∴?2 2 b?1。 2a2 又∵当x=2时，y＞0；当x=－2时，y＜0，∴a＜0，c＞0，b－4ac＞0。 ∴与x轴的交点为（x1，0），（x2，0）且x1＜x2，－2＜x1＜0，2＜x2＜4。 ∴可得较简单的一个为a=－1，b=2，x1=－1，x2=3，c=x1?x2=－3。 ∴次函数y=ax＋bx＋c可以为y=－x＋2x－3。 9. （江苏省南通市2007年3分）如图，已知矩形OABC的面积为相交于点D，且OB∶OD＝5∶3，则k＝ ▲ ． 2 2 100k，它的对角线OB与双曲线y=3x 10 【答案】12。 【考点】反比例函数系数k的几何意义。 【分析】先找到点的坐标，然后再利用矩形面积公式计算，确定k的值： 由题意，设点D的坐标为（xD，yD），则点B的坐标为（矩形OABC的面积=| 55xD，yD）， 3355100xD·yD|= ， 333∵图象在第一象限，∴k=xD?yD=12。 10. （江苏省南通市2008年3分）一次函数y?(2m?6)x?5中，y随x增大而减小，则m的取值范围是 ▲ ． 【答案】m＜3。 【考点】一次函数图象与系数的关系。 【分析】因为y随x增大而减小，所以k＜0，即2m－6＜0，从而得m的取值范围：m＜3。 11. （江苏省2009年3分）反比例函数y??【答案】二、四。 【考点】反比例函数的性质。 1的图象在第 ▲ 象限． xk?k?0?的性质：当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图x1象分别位于第二、四象限：∵反比例函数y??的系数k=?1<0，∴图象两个分支分别位于第二、四 x【分析】根据反比例函数y=象限。 12. （江苏省南通市2010年3分）如果正比例函数y=kx的图象经过点（1，－2），那么k 的值等于 ▲ ． 【答案】2。 【考点】直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】由于正比例函数y=kx的图象经过点（1，－2），于是点（1，－2）满足y＝kx，进而利用待定系数法求解： ∵图象经过点（1，－2），∴1×k=－2，解得：k=－2。 11 三、解答题 1. （2001江苏南通9分）已知抛物线y?x2?5mx?4m2 (m为常数) （1）求证：此抛物线与x轴一定有交点； （2）是否存在正数m，使已知抛物线与x两个交点的距离等于说明理由。 6？若存在，求出m的值；若不存在， m?12.（2001江苏南通9分）改革开放以来，某镇通过多种途径发展地方经济，1995年该镇国民生产总值为2亿元，根据测算，该镇年国民生产总值为5亿元时，可达到小康水平。 （1）若从1996年开始，该镇年国民生产总值每年比上一年增加0.6亿元，该镇经过几年可达到小康水平？ （2）设以2001年为第1年，该镇第x年的国民生产总值为y亿元，y与x之间的关系是 12y?x2?x?5(x?0)该镇哪一年的国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国 93民生产总值的4倍）？ 12 【答案】解：（1）设经过x年可达到小康水平，则根据题意，得 2+0.6x=5，解得x=5。 答：该镇通过5年可达到小康水平。 12（2）依题意，将y=5×4＝20代入y?x2?x?5并化简得x2?6x?135?0， 93解得x=9或－15（舍去）. 又∵2001为第一年， ∴2009年国民生产总值可在1995年的基础上翻两番（即达到1995年的年国民生产总值 的4倍）。 【考点】二次函数的应用，解一元一、二次方程。 【分析】（1）依题意可列出一元一方程，解出即可。 （2）依题意可列出一元二方程，解出即可。 3.（2001江苏南通12分）已知m、n是x的方程x2?(2?3)x?2t?0的两个根，且m2?mn?4?23,过点Q（m,n）的直线L1交于点A（0，t），直线L1、L2分别与x轴的负半轴交于点B、C（如图）ΔABC为等腰三角形。 （1） 求m、n、t的值； （2） 求直线L1与直线L2的解析式； （3） 若P为直线L2上的点，且ΔABO与ΔABP相似，求点P的坐标。 （4） 【答案】解：（1）∵m、n是x的方程x2?(2?3)x?2t?0的两个根，且m2?mn?4?23， 13 ?m?n=?2?3?m=?2??? ∴?m?n=2t，解得?n=?3。 ??2m?mn?4?23?t?3?? （2）由（1）得点Q ?2, ?3， A 0, 3。 ??????????3=?2k1+b1?k1=3 设直线L1的解析式为y=k1x+b1，则?，解得?。 ???3=b1?b1=3 ∴直线L1的解析式为y=3x+3。 令y=3x+3?0，得x??1。∴B（－1,0）。 ∴OA=3，OB=1，AB=2。 ∵ΔABC为等腰三角形，∴BC=AB=2。∴OC=3，点C的坐标为（－3，0）。 ?3??0=?3k2+b2?k2= 设直线L1的解析式为y=k2x+b2，则?，解得?3。 3=b?2??b=3?2 ∴直线L1的解析式为y=3x+3。 30 （3）由点A、B、C的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=30。 ∴要使ΔABO与ΔABP相似只要∠APB=90或∠ABP=90。 ∵点P在直线L2上，∴设P（p， 又∵OA=3，OB=1， 0 0 3。 p+3） 3?3?42p+3?3?p， ∴AB=2， AP2?p2+???3?3???3?42BP2??p+1?+?p+3?p+4p+4。 ??3?3??222 若∠APB=90， 0 4242p?p+4p+4。 333 解得，p=0（舍去）或p=?。 2 则AB2?AP2?BP2，即4? 14 此时，33?3?3。 p+3=????+3=33?2?233 ∴P（?，）。【注：此时实际上两三角形全等】 22若∠ABP=90， 0 44 则AP2?AB2?BP2，即p2?4?p2+4p+4。 33 解得， p=?2。 333。 p+3=???2?+3=3333 ∴P（?2，。 ） 3333 综上所述，点P的坐标为（?，）或（?2，。 ）223 此时，【考点】一次函数综合题，一元二次方程根与系数的关系，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，解方程和方程组。 【分析】（1）由m、n是x的方程x2?(2?3)x?2t?0的两个根，且m2?mn?4?23，根据一元二次方程根与系数的关系，可得三元方程组，解之即得m、n、t的值。 （2）由（1）可得点A 、Q的坐标，用待定系数法，可求得直线L1的解析式。由ΔABC为等腰三角形可求得点C的坐标，从而由点A、C的坐标，用待定系数法，可求得直线L2的解析式。 （3）由点A、B、C的坐标，根据锐角三角函数定义，易求得∠OAB=∠BAC=30，所以要使ΔABO与ΔABP相似只要∠APB=90或∠ABP=90。因此分∠APB=90或∠ABP=90两种情况分别求解即可。 4.（江苏省南通市2002年10分） 某家电集团公司生产某种型号的新家电，前期共投入固定成本200万元，每生产1台这种新家电，还需要生产成本0.3万元，已知每台新家电的售价为0.5万元． （1）分别求总成本y1（万元）和总利润y2（万元）关于新家电的总产量x（台）的函数关系式； （2）当x=900（台）时，该公司的盈亏情况如何？ （3）请你利用第（1）小题中y2与x的函数关系式，分析该公司的盈亏情况． （注：总成本=固定成本＋生产成本，总利润=总产值－总成本） 【答案】解：（1）根据题意，y1=0.3x＋200，y2=0.5x－（0.3x＋200）=0.2x－200。 （2）把x=900代入y2中，可得y2=0.2×900－200=－20＜0， ∴当总产量为900台时，公司会亏损，亏损额为20万元。 （3）根据题意， 15 0 0 0 0 0 当0.2x－200＜0时，解得x＜1000，说明总产量小于1000台时，公司会亏损； 当0.2x－200＞0时，解得x＞1000，说明总产量大于1000台时，公司会盈利； 当0.2x－200=0时，解得x=1000，说明总产量等于1000台时，公司不亏不盈。 【考点】一次函数的性质和应用。 【分析】（1）根据题意可直接列出两个函数解析式。 （2）再把x=900代入y2中可求出盈利额，负则说明亏损，正则说明盈利。 （3）利用y2的解析式，让y2＞0则可算出生产多少会盈利，y2=0不亏损也不盈利，y2＜0则会亏。 5. （江苏省南通市2002年12分）设抛物线 y=ax＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点，且与y轴相交于点M． （1）求b和c（用含a的代数式表示）； （2）求抛物线y=ax－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等的点的坐标； （3）在第（2）小题所求的点中，有一个点也在抛物线y=ax＋bx＋c上，试判断直线 AM和x轴的位置关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵抛物线y=ax＋bx＋c经过A（－1，2），B（2，－1）两点， 2 2 2 2 ?b??a?1?a?b?c?2∴ ?，解得?。 c?1?2a4a?2b?c??1??（2）由（1）得，抛物线y=ax－bx＋c－1的解析式是y=ax＋（a＋1）x－2a， ∵物线y=ax－bx＋c－1上横坐标与纵坐标相等， ∴ax＋（a＋1）x－2a=x，即ax＋ax－2a=0。 ∵a是抛物线解析式的二次项系数，∴a≠0。 ∴方程的解是x1=1，x2=－2， ∴抛物线y=ax－bx＋c－1满足条件的点的坐标是P1（1，1），P2（－2，－2）。 （3）由（1）得抛物线y=ax＋bx＋c的解析式是y=ax－（a＋1）x＋1－2a。 ①当P1（1，1）在抛物线y=ax＋bx＋c上时，有a－（a＋1）＋1－2a=1，解得a??2 2 2 2 2 2 2 2 2 1。 2112 这时抛物线y=ax＋bx＋c的解析式是y?? x2? x?2，它与y轴的交点是M（0，2）。 22∵点A（－1，2），M（0，2）两点的纵坐标相等， ∴直线AM平行于x轴。 ②当P2（－2，－2）在抛物线y=ax＋bx＋c上时，有4a＋2（a＋1）＋1－2a=－2， 2 16 解得a??5。 45177这时抛物线的解析式为y?? x2? x? ，它与y轴的交点是M（0，）。 4422∵A、M两点的纵坐标不相等， ∴直线AM与x轴相交。 综上所述，当P1（1，1）在抛物线y=ax＋bx＋c上时，直线AM平行x轴； 当P2（－2，－2）在抛物线y=ax＋bx＋c上时，直线AM与x轴相交。 2 2 【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）把A（－1，2），B（2，－1）两点分别代入抛物线y=ax＋bx＋c，即可用a表示出b、c的值。 （2）把（1）中所求b、c的值及x=y代入抛物线y=ax－bx＋c－1，即可求出符合条件的点的坐 标。 （3）把（2）中所求的两点分别代入（1）中抛物线的解析式，即可求出未知数的值，从而求出其 解析式，根据其解析式可求出函数图象与y轴的交点坐标，根据其纵坐标于A点纵坐标的关系即可判断出直线AM与x轴的关系。 6. （江苏省南通市2003年8分）已知抛物线y=ax+bx+c经过A（1，－4），B（－1、0），C（－2，5）三点． （1）求抛物线的解析式并画出这条抛物线； （2）直角坐标系中点的横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．试结合图象，写出在第四象限内抛物线上的所有整点的坐标． 2 2 2 【答案】解：（1）依题意有： ?a?b?c??4 ?a?1 ?? ?a?b?c?0解得?b??2。 ?4a?2b?c?5?c??3?? 17 ∴抛物线的解析式为y=x－2x－3。 描点作图如下： 2 （2）（1，－4），（2，－3）。 【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】本题的关键是求出二次函数的解析式，已知了抛物线所经过的A、B、C三点，可用待定系数法求出抛物线的解析式。经过描点、连线得出函数的图象后即可得出第四象限内抛物线上所有整点的坐标。 7.（ 江苏省南通市2003年10分）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=4，BD=3，AD=5，以AB所在直线为x轴．以B点为原点建立平面直角坐标系．将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转，使C点落在y轴的正半轴上，C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点． （1）求证：点D在y轴上； （2）若直线y=kx+b经过P、Q两点，求直线PQ的解析式； （3）将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动，得平行四边形P′Q′T′B′，Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应）．设BB′=m（0＜m≤3）．平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式． 【答案】解：（1）证明：∵AB+BD=3+4=5=AD 18 2 2 2 2 2 2 ∴△ABD为直角三角形，且AB⊥BD。 ∵x轴⊥y轴，AB在x轴上，且B为原点，∴点D在y轴上。 （2）由旋转的性质知，P点坐标为（0，5），且PQ=DC=4，∠QPB=∠DAB。 过Q点作QH⊥BD，垂足为H。 在Rt△PQH中， 312QH=PQ?sin∠QPH=PQ?sin∠DAB=4×= ， 55416PH=PQ?cos∠QPH=PQ?cos∠DAB=4×= ， 55169BH=PB－PH=5?= 。 55129∴Q（? ， ）。 55∵直线y=kx+b过P、Q两点． 4?b?5 ???k?∴ ?123。 9，解得?? k?b???5?5?b?5∴直线PQ的解析式为y?4x?5。 3（3）设B′T′与AB交于点M，Q′T′交AB于点E，交AD于点F。 ∵0＜m≤3，∴S?S梯形BDFE－S?BB?M。 12 ． 5128∴AE=AB－BE=4－=。 55836∴EF=AE?tan∠DAB=?=。 545116 12126 ∴S梯形BDFE?（EF?BD）。 ?BE?（? ?3）??225525由（2）可知，BE=QH= 又ET′∥BB′，∴∠MB′B=∠T′=∠DAB． 3 m。 41133∴S?BB'M??BM?BB???m?m?m2。 224812632∴S?。 ? m（0＜m?3）25 8∴BM=BB′?tan∠MBB=m?tan∠DAB= 【考点】一次函数综合题，勾股定理的逆定理，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，平行的性质，三角形和梯形面积。 19 【分析】（1）根据AB、BD、AD的长，不难得出三角形ABD为直角三角形．由于A、B在x轴上，且B为原点，因此D必在y轴上。 （2）点P的坐标易求出，关键是求出Q点的坐标，可过Q作QH⊥y轴于H，那么可在直角三角形 PQH中，根据PQ的长和∠QPB的三角函数值（∠QPB=∠DAB），求出PH，QH的长，即可得出Q点的坐标，然后用待定系数法求出直线PQ的解析式。 （3）当0＜m≤3，B'在线段BD上，此时重合部分是个五边形．设TB'与x轴的交点为M，AD与Q'T的交点为F，那么重合部分的面积可用梯形EFDB的面积-三角形EBB'的面积来求得。梯形的上底可用AE的长和∠DAB的正切值求出（AE的长为A点横坐标绝对值与Q点横坐标绝对值的差），同理可在直角三角形BB′M中求出BM的长，由此可求出S、m的函数关系式。 8.（江苏省南通市2004年6分）已知，二氧化碳的密度ρ（kg/m）与体积V（m）的函数关系式是ρ?⑴求当V=5 m时二氧化碳的密度ρ ⑵请写出二氧化碳的密度ρ随V的增大（或减小）而变化的情况。 【答案】解：（1）当V=5m时，ρ?3 3 3 3 9.9 V9.93 =1.98（kg/m）。 5（2）密度ρ随体积V的增大而减小。 【考点】反比例函数的应用。 【分析】（1）把V的具体值代入所给的函数解析式即可得出结果。 （2）由比例系数大于0，得ρ随V的增大而减小。 9. （江苏省南通市2004年7分） 某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式． 20 ?当1＜p＜3时，延长MP交X轴于Q，见图（2）。设直线MP为y?kx?b则有 ??k????k?b? ?解得 ??p?1?pk?b?b???p?3p?1 p?1p?1 则直线MP为y?p?3p?1 x?p?1p?1 当y＝0时，x＝ p?1p?1，即点Q的坐标为（，0）。 3?p3?p1?p?1?1?p?1??p2?4p?3， ???1??2???1??p?1??2?3?p?2?3?p?3?p 则S?AMP?S?AMQ?S?APQ?p2?4p?33 由2＝4?有2p2?9p?9?0，解之，p＝3（不合，舍去），p＝。 3?p21 ?当p＝3时，见图（1）S△AMP＝?2?2?2＝S△AMN。不合题意。 2 ?当p>3时，延长PM交X轴于Q，见图（3）。 此时，S△AMP大于情况?当p＝3时的三角形面积S△AMN。故不存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP。 3 综上，当p＝时，S△AMN＝4S△AMP。 2【考点】反比例函数，一次函数，待定系数法，二元一次方程组，勾股定理，相似三角形一元二次方程。 m 【分析】(1)用点B(2，1)的坐标代入y＝即可得m值，用待定系数法，求解二元一次方程组可得直线l x 的解析式。 (2)点P(p，p－1)在直线y＝2上，实际上表示了点是直线y＝2和l的交点，这样要求证△PMB∽△PNA只要证出对应线段成比例即可。 (3)首先要考虑点P的位置。实际上，当p＝3时，易求出这时S△AMP＝S△AMN，当p>3时，注意到这时S△AMP大于p＝3时的三角形面积，从而大于S△AMN，。所以只要主要研究当1＜p＜3时的情况。作出必要的辅助线后，先求直线MP的方程，再求出各点坐标（用p表示），然后求出面积表达式，代入S△AMN＝4S△AMP后求出p值。 26.（2012江苏南通9分）甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题： (1)线段CD表示轿车在途中停留了 h； (2)求线段DE对应的函数解析式； 41 (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 【答案】解：（1）0.5。 （2）设线段DE对应的函数解析式为y=kx+b（2.5≤x≤4.5）， ∵D点坐标为（2.5，80），E点坐标为（4.5，300）， ?80?2.5k?b ?k?110 ∴代入y=kx+b，得： ?，解得：?。 300?4.5k?bb??195??∴线段DE对应的函数解析式为：y=110x－195（2.5≤x≤4.5）。 （3）设线段OA对应的函数解析式为y=mx（0≤x≤5）， ∵A点坐标为（5，300），代入解析式y=mx得，300=5m，解得：m=60。 ∴线段OA对应的函数解析式为y=60x（0≤x≤5） 由60x=110x－195，解得：x=3.9。 ∴货车从甲地出发经过3.9小时与轿车相遇，即轿车从甲地出发后经过2.9小时追上 货车。 答：轿车从甲地出发后经过2.9小时追上货车。 【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。 【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可。 （2）由D点坐标（2.5，80），E点坐标（4.5，300），用待定系数法求出线段DE对应的函数 解析式。 （3）用待定系数法求出OA的解析式，列60x=110x－195时，求解减去1小时即为轿车追上货车 的时间。 42