运动学
例题6-7
yD?第六章点的运动学
2.求M点的瞬时速度。
x，y 对时间的一阶导数，
得vMOA2φCBPxvx?r?(1?cos ?t)vy?r?sin ?t故得M点速度v 的大小和方向
?t22?r?(1?cos?t)?sin?t?2r?sin?sinHv?v2x?v2ycos(v,i)?cos(v,j)?vxv?t2?sin?2??BDMBMD2vyv?cos ?t2?cos ?2MD41
M点的速度矢恒通过轮子的最高点D。运动学
例题6-7
第六章点的运动学
3.求M点的瞬时加速度。
vx，vy对时间的一阶导数，得
yD?2Eax?r?sin ?tay?r?cos ?t22CMOAφaBPaya?cos ??BCMC,故得M点加速度a 的大小和方向，有xHcos(a,j)?a?axaa2x?a2y?r?,2cos(a,i)??sin ??MBMC2当t = 0时，有
x=0,y=0; vx?0,vy?0;ax?0,ay?r?这表示，当M点接触轨道时，它的速度等于零，而加速度垂直于轨道。这是轮子沿固定轨道滚而不滑的特征。
42
第六章点的运动学
轨迹演示
43
运动学
例题6-7
运动学
例题6-8
第六章点的运动学
7 中轮缘上M点的切向加速度和法向
加速度，并求轨迹的最大曲率半径。
yD?vMO2CaφHPx
44
运动学
例题6-8
第六章点的运动学
解：由v?2r?sin 因而它的切向加速度
at?dvdt?r?2?t22cos ?t2注意，当t0?0时，at0?r?;而
22πat1??r?；两者相差一个当t1?时，负号。在t1以后，M点进入另一个滚
轮环，这里出现尖点，at运动方向发生突然逆转，由r?2?yD?突变为?r?。
2EatMOv2CaφH2πx
45
1
运动学
引言
引言
运动学是研究物体在空间位置随时间变化的几何性质的科学。而不考虑运动发生的原因。
主要内容包括建立机械运动的描述方法,即选择合适的参量对物体的机械运动进行数学描述。研究表征运动几何性质的基本物理量，如速度、加速度、角速度和角加速度等。研究运动分解与合成的规律。学习运动学的目的除了为后续课程打基础外，也可以直接用来解决工程实际问题，例如机构运动分析。运动的力学模型点和刚体
参考系运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。因此，在描述物体的运动时都需要指明参考系。一般工程问题中，都取与地面固连的坐标系为参考系。2
3
运动学
第六章点的运动学
1.运动方程
§6-1 矢量法
r?r(t)显然矢端曲线就是动点的运动轨迹。2.点的速度
v?limΔrrΔt?0Δt?ddt?r?3.加速度
a?limΔvvd2rΔt?0Δt?ddt?dt2??r?4
运动学
第六章点的运动学
§6-2直角坐标法
1.运动方程
如果取矢径的原点与直角坐标系的原点重合，则有如下关系
r?xi?yj?zk直角坐标表示的点的运动方程为x?f1(t) y?f2(t) z?f3(t)以上也就是点的轨迹的参数方程2.点的速度
v?drdt?dxdti?dydtj?dzdtk5
又 v?vxi?vyj?vzk
运动学
例题6-6
第六章点的运动学
点的速度在切向上的投影
vtDatB+sωORφθanARO'Csvt?dsdt?π220cos2πt B点的加速度a 在切向的投影
at?dvtdt??π310sin2πt -sE而在法向的投影
?π2?cos2π?20?0.1?t???24an?v2???π40cos2πt 36
2运动学
例题6-6
第六章点的运动学
当t1? s时,?1?41π8 radv1t?0，,
又a1t??π310 m/s2a1n?0。,
可见, 这时B点的加速度大小
DRA
θ1a2=a1na1?a1t?B1a1=a1tB2
π310 m/s2且a1沿切线的负向。
当t1= 1 s时, ?1?0 , v2t?π m/s又a2t?0 ,a2n?π4222040 m/s 。可见，这
E
时点B的加速度大小
a2?a2n?π440 m?s－2且a2 沿半径B2A。37
运动学
例题6-7
第六章点的运动学
半径是r的车轮沿固定水平轨道滚动而不滑动（如图）。轮缘上一点M，在初瞬时与轨道上的O点叠合；在瞬时t半径MC与轨道的垂线HC组成交角φ=ωt，其中ω是常量。试求在车轮滚一转的过程中该M点的运动方程，瞬时速度和加速度。
yDCMOφHx38
运动学
例题6-7
第六章点的运动学
解：
1.求M点的运动方程。
在M点的运动平面内取直角坐标系Oxy如图所示：轴x沿直线轨道，并指向轮子滚动的前进方向，轴y铅直向上。考虑车轮在任意瞬时位置，因车轮滚动而不滑动，故有OH=弧MH。于是，在图示瞬时动点M的坐标
为
yDx?OA?OH?AH?弧MH?MB?r??rsin ?CMAφBx
y?AM?HB?HC?BC?r?rcos ?39
H运动学
例题6-7
第六章点的运动学
对
x?r??rsin ?y?r?rcos ?yDE以???t代入，
得M点的运动方程
CMOAφBPxx?r(?t?sin ?t)y?r(1?cos ?t)H这方程说明M点的轨迹是滚轮线（即摆线）。车轮滚一转的时间T=2π/ω，在此过程中，M点的轨迹只占滚轮线的一环OEP，其两端O和P是尖点。
40
第六章点的运动学
26
运动学
运动学显然
第六章点的运动学
b?τ?n以点M为原点，以切线、主法线和副法线为坐标轴组成的正交坐标系称为曲线在点M的自然坐标系。
3.点的速度
经过?t时间,点沿轨迹由M到M‘，矢径有增量Δr，则
v?lim?lim?dSdt?r?t?t?0?lim(?t?0?r?S???S?t?)?S?t?t?0?lim?r?SdSdtdrdS27
?t?0?τ?v?τ运动学4.点的加速度
a?dvdt?ddt第六章点的运动学
(vτ)?dvdt?τ?v?dτdt?dSdt22?τ?v?dτdt(1)切向加速度（表示速度大小的变化）
at?dvdtτ?dSdt22?τ(2)法向加速度（表示速度方向的变化）
an?v2dτdt?vlim?τ?S?τ?t?t?0?v?lim(?t?0?τ?S??S?t)?v?lim?t?0(lim?S?t?t?0?dSdt?v)28
运动学
第六章点的运动学
由图可知
|?τ|?|τ'?τ|?2|τ|sin??2?2sin??2???2??2当?t?0时, ?S?0, sin|τ|?1 于是 ?τ???lim|?τ?S2sin|?lim?t?0??2?lim(?t?0sin???t?0?S即an?v22???)?d??1???SdS?2?n, a?at?an?dvdtτ?v2?n?为轨迹曲线在点M 处的曲率半径
全加速度的大小方向为a?a?a, ??arctg2t2n|at|an29
运动学
例题6-5
第六章点的运动学
M0处以s=250t+5t2规律沿半径
r=1500m的圆弧作机动飞行（如图），其中s以m计，t以s计，当t=5s时，试求飞机在轨迹上的位置M及其速度和加速度。
OrM0
M30
运动学
例题6-5
第六章点的运动学
解：因已知飞机沿圆弧轨迹的运动方程，宜用
自然法求解。取M0为弧坐标s 的原点，s 的正负方向如图所示。
M0OranaM(-)
当t = 5 s时，飞机的位置M 可由弧坐标确定
v0ss?250t?5t?1 375 m先求出飞机的速度和切向加速度、法向加速度2(+)atvv?dsdtv?250?10t,2at?dvdt?10m/s,an?2??11500(250?10t)231
运动学
例题6-5
第六章点的运动学
代入t= 5s得
(-)
v?300 m?sat?10 m?s－2－2OraanM0s,v0an?60 m?s－2?atvM故在这瞬时飞机的总加速度a 的大小和方向为
(+)a?at?a22n?60.8 m?s－2 tan ??atan?0.166?32
??9.5运动学
第六章点的运动学
例题6-6
+sDCBωsOφθRARO'-sEB可沿半径等于R的
固定圆弧滑道DE和摆杆的直
槽中滑动，OA=R=0.1 m。已知摆杆的转角??π8sin2πt（时间以s计，φ以rad计），试求销钉在t1=1/4 s和t2=1 s时
的加速度。
33
第六章点的运动学
运动演示
34
运动学
例题6-6
运动学
例题6-6
第六章点的运动学
解：
B的轨迹是圆弧DE，中心
在A点，半径是R。选滑道上O'点作为弧坐标的原点，并以O'D为正向。则B
+sωORφDCBs点在任一瞬时的弧坐标
s?R?但是，由几何关系知??2?，且??πsin2πt，将其代入上式，得
8s?2R??π40sin2πt θARO'-sE这就是B点的自然形式的运动方程。
35
运动学
例题6-8
第六章点的运动学
M点的法向加速度大小
an?a2?2at?r?sin 2?t2矢量at和an 的方向分别沿MD和MH。yD?EatMOv2CaφanH2πx
46
运动学
例题6-8
第六章点的运动学
另一方面，an率半径为
?v2?，故轨迹的曲
??v24r?sin ?r?sin 2222?t2?4rsin ?t2可见，轨迹的最大曲率半
an?t2径?max?4r，对应于轨迹的
最高点E(?t?π)。
yD?EatMOv2CaφanHπ2πx
47
第六章点的运动学
48
运动学