线性代数习题及答案all in
习题一
1. 求下列各排列的逆序数.
(1) 341782659； (2) 987654321；
(3) n(n?1)…321； (4) 13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2. 【解】
(1) τ(341782659)=11; (2) τ(987654321)=36;
n(n?1)(3) τ(n(n?1)…32221)= 0+1+2 +…+(n?1)=;
2(4) τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).
2. 略.见教材习题参考答案. 3. 略.见教材习题参考答案.
5x124. 本行列式D4?3x1xi1i2i3i4x12的展开式中包含x3和x4的项.
2x3122x(i1i2i3i4)解： 设 D4??(?1)?ai11ai22ai33ai44 ，其中i1,i2,i3,i4分别为不同列中对应
元素的行下标，则D4展开式中含x3项有
(?1)?(2134)?x?1?x?2x?(?1)?(4231)?x?x?x?3??2x3?(?3x3)??5x3
D4展开式中含x4项有
(?1)?(1234)?2x?x?x?2x?10x4.
5. 用定义计算下列各行列式.
0200123000100020(1)； (2). 3000304500040001【解】(1) D=(?1)τ(2314)4!=24; (2) D=12.
6. 计算下列各行列式.
1
214?1?ac?ae(1)
3?12?1ab123?2； (2) ?bdcd?de； 506?2?bf?cf?efa?1001234(3)1b?102301c?1； (4) 413412. 001d4123506?2【解】(1) Dr1?r23?12?1123?2?0; 506?21?1?1(2) D?abcdef?11?1??4abcdef;
?1?1?1b?101?10(3)D?a1c?1?(?1)20c?1?a??bc?1?1?1???cd?101d01d?1d0d?
?abcd?ab?ad?cd?1;102341023410234c1?c(4)D210341r2?r1011?3rc??3?2r2011?3c1?cc310412rr3??rr102?2?2r?4?r200?44?160.1?410123410?1?1?1000?47. 证明下列各式.
a2abb2(1) 2aa?b2b?(a?b)2；
111a2(a?1)2(a?2)2(a?3)2(2)
b2(b?1)2(b?2)2(b?3)2c2(c?1)2(c?2)2(c?3)2?0；
d2(d?1)2(d?2)2(d?3)21a2a31aa2 (3) 1b2b3?(ab?bc?ca)1bb2 1c2c31cc2 2
a00b(4) D0ab02n?0cd0?(ad?bc)n；
c00d1?a111(5)
11?a21??n?1?n?1?????ai. i?1aii?1111?an【证明】(1)
c?c(a?b)(a?b)b(a?b)b2左端1c?3?c2(a?b)a?b2b23001
?(a?b)(a?b)b(a?b)a2(a?b)a?b?(a?b)2?bb21?(a?b)3?右端.a22a?14a?46a?9a22a?126c2-c1b2(2) 左端2b?14b?46b?9c3-2cb22b?126c?c3?2?cc12c?14c?46c?9c?24?3c241cc22c?126?0?右端.d22d?14d?46d?9d22d?126(3) 首先考虑4阶范德蒙行列式:
1xx2x3f(x)?1aa2a31bb2b3?(x?a)(x?b)(x?c)(a?b)(a?c)(b?c)(*)1cc2c3从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为
1aa2(ab?bc?ac)(a?b)(a?c)(b?c)?(ab?bc?ac)1bb2,
1cc2但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故
1a2a3(?1)1?11b2b3, 1c2c3(4) 对D2n按第一行展开，得
3
aabD2n?ac0据此递推下去，可得
b00aab?bcd0cc0bcdd0
d00d?ad?D2(n?1)?bc?D2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1),D2n?(ad?bc)D2(n?1)?(ad?bc)2D2(n?2)??(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n?1(ad?bc) ?(ad?bc)n?D2n?(ad?bc)n.
(5) 对行列式的阶数n用数学归纳法.
当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.
按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：
Dn?1?a1111?a211an?1?anDn?1.1111111?a11?1111?a211111?an?11000an
?a1a2但由归纳假设
Dn?1?a1a2从而有
Dn?a1a2?a1a2?n?11?an?1?1???,
?i?1ai??n?11?an?1?ana1a2an?1?1????i?1ai? nnn1??1??an?1an?1?????1????ai.?i?1ai??i?1ai?i?18. 计算下列n阶行列式.
4
(1) Dn?x11x11x0yx000y0011x1222222232222； n (2) Dn?2200x000(3)Dn?0yyx. (4)Dn?aij其中aij?i?j(i,j?1,2, ,n) ；
2101210120000000000002112(5)Dn?.
【解】(1) 各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得
11Dn?[x?(n?1)]1x11将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得
11x,
Dn?[x?(n?1)]111x?1002000n?210x?1?(x?n?1)(x?1)n?1.
12221000r2?r1(2)
Dn?101010021000r3?r1 rn?r1按第二行展开222010?002000
200n?25
??2(n?2)!.
(3) 行列式按第一列展开后，得
x0Dn?x0yyx000y000000?y(?1)n?1x0yxyx000yx000y0000000xy
?x?x(n?1)?y?(?1)(n?1)?y(n?1)?xn?(?1)n?1yn.(4)由题意，知
a11aa21aan11222 Dn?ananann01101210n?1n?2n?3 012?2an2n?1n?2n?3011111112?111n?2n?1?1?1?11?1?1?1?1自第三行起后一行减去前一行1?1?1后一行减去前一行
000012002000n?2n?1?1002?10001?1?11220按第一列展开??0200n?2n?1002000
按第n-1列展开(?1)n?1(n?1)200200002?(?1)n?1(n?1)2n?2.
6
210002000001000121001210012100(5) D01200n??01200?01200
000210002100021000120001200012?2Dn?1?Dn?2.
即有 Dn?Dn?1?Dn?1?Dn?2??D2?D11 ?由 ?Dn?Dn?1???Dn?1?Dn??2???D2??D1?1n ?得
Dn?D1?n?1, Dn?n?1??2n?. 19. 计算n阶行列式.
1?a1a2anDa11?a2ann?
a1a21?ann【解】各列都加到第一列，再从第一列提出1??ai，得
i?11a2a3ann11?a2a3anD????1??a?nia21?a3an, i?1??11a2a31?an将第一行乘（?1）后加到其余各行，得
1a2a3ann0100D??n?n???1??ai?0010?1?ai.
i?1?i?1000110. 计算n阶行列式（其中ai?0,i?1,2,,n）.
7
a1n?1a1n?2b1Dn?a1b1n?2b1n?1n?1a2n?2a2b2n?1a3n?2a3b3n?1ann?2anbn.
n?2a2b2n?1b2a3b3n?2b3n?1n?2anbnn?1bn?1【解】行列式的各列提取因子an,2,j(j?1,n),然后应用范德蒙行列式.
1b3a321b1a1Dn?(a1a2an)n?1?b1??a??1??b1??a??1??(a1a2n?121b2a2?b2??a??2??b2??a??2?1bnan2?b3??a??3??b3??a??3??bn??a??n??bn??a??n?2
n?1n?1n?1n?1?bibj?an)????.aj?1?j?i?n?ai11. 已知4阶行列式
1234D4?3344;
15671122试求A41?A42与A43?A44，其中A4j为行列式D4的第4行第j个元素的代数余子式. 【解】
A41?A42?(?1)4?1234134344?(?1)4?2344?3?9?12. 567167同理A43?A44??15?6??9. 12. 用克莱姆法则解方程组.
? x1? x2? x3 ?5,?2x? x? x? x?1,?1234(1) ? (2)
x?2x? x? x?2,234?1?? x2?2x3?3x4?3.?5x1?6x2 ?1,? x?5x?6x ?0,123??? x2?5x3?6x4 ?0, ? x?5x?6x?0,345??? x4?5x5?1.【解】方程组的系数行列式为
8
11101110D?21?110?1?31?1?31?1?3112?11?01?21?1?21?0?52?18?0; 012301231230?1451101510D11?1121?111?22?11?18;D2?12?11?36;3123032311501115
D2111113?1221?36;D4?21?12?12??18.01330123故原方程组有惟一解，为
xD?D2?2,xDD41?1D?1,x2D3?3D?2,x4?D??1.
2)D?665,D1?1507,D2??1145,D3?703,D4??395,D5?212.?x
1?1507665,x22937792122??133,x3?35,x4??133,x5?665.13. λ和μ为何值时，齐次方程组
???x1?x2?x3?0,?x1??x2?x3?0, ??x1?2?x2?x3?0有非零解?
【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式
?111?1?0, 12?1即
?(1??)?0.
故??0或??1时，方程组有非零解. 14. 问：齐次线性方程组
??x1?x2?x3?ax4?0,??x1?2x2?x3?x4?0,x ?1?x2?3x3?x4?0,??x1?x2?ax3?bx4?0
9
有非零解时，a,b必须满足什么条件？
【解】该齐次线性方程组有非零解，a,b需满足
1111即(a+1)2=4b.
11211?31aa1?0, 1b15. 求三次多项式f(x)?a0?a1x?a2x2?a3x3，使得
f(?1)?0,f(1)?4,f(2)?3,f(3)?16.
【解】根据题意，得
f(?1)?a0?a1?a2?a3?0;f(1)?a0?a1?a2?a3?4;f(2)?a0?2a1?4a2?8a3?3;f(3)?a0?3a1?9a2?27a3?16.这是关于四个未知数a0,a1,a2,a3的一个线性方程组，由于
D?48,D0?336,D1?0,D2??240,D3?96.
故得a0?7,a1?0,a2??5,a3?2 于是所求的多项式为
f(x)?7?5x2?2x3
16. 求出使一平面上三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.
【解】设平面上的直线方程为
ax+by+c=0 (a,b不同时为0)
按题设有
?ax1?by1?c?0,??ax2?by2?c?0, ?ax?by?c?0,3?3则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为
x1x2x3y11y21?0 y31上式即为三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)位于同一直线上的充分必要条件.
10
习题 二
1. 计算下列矩阵的乘积.
?1???1?（1）=???32?10?； （2）
?2????3??3??2?（3） ?1234???； （4）
?1????0??a11（5） ??a21??a31a12a22a32?500??1??031???2?； ??????021????3???a11x3???a21??a31a12a22a32a13??x1??x?；a23???2? a33????x3???x1?1?0??0??0x2a13??100??011?； （6） a23????a33????001??210010200??1?01???1??0??3??0031?12?1??. 0?23??00?3?【解】
?32?1??3?21(1) ??64?2??96?3(4)
0??5?0??; (2)??3?; (3) (10);
??0?????1??0?33ax?ax?ax?(a12?a21)x1x2?(a13?a31)x1x3?(a23?a32)x2x3???aijxixj
211122222333i?1j?1?a11(5)??a21??a31a12a22a32?1a12?a13??0?a22?a23?; (6) ??0a32?a33????02?12?4??. 0?43??00?9?25?111??121??，B??13?1?， ?1112. 设A?????????1?11???214??求(1)AB?2A;(2) AB?BA；(3) (A+B)(A?B)?A2?B2吗?
?242??440?【解】(1) AB?2A??400?; (2) AB?BA??5?3?1?;
???????024????31?1??(3) 由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.
11
3. 举例说明下列命题是错误的.
(1) 若A2?O， 则A?O； (2) 若A2?A， 则A?O或A?E； (3) 若AX=AY，A?O， 则X=Y. 【解】
?001?(1) 以三阶矩阵为例，取A???000?,A2?0,但A≠0
???000???1?10?(2) 令A???000?,则A2=A,但A≠0且A≠E
???001????110??2??1?(3) 令A??011????0,Y=??1??,X???2??
??101????1????0??则AX=AY,但X≠Y.
?1??4. 设A?????, 求A2，A3，…，Ak. ???01??【解】A2???12???,A3???13??,,Ak???1k???01??01???01??. ??10?5. A=??0?1?， 求A2,A3并证明： ??00?????kk?k?1k(k?1)2?k?2?Ak=?????0?kk?k?1???.
?00?k????22?1???33?23??【解】A2=??0?22????,A3=??0?33?2?. ?00?2?????00?3??今归纳假设
???kk?k?1k(k?1)Ak=?2?k?2???0?kk?k?1???
?00?k??
12
那么
Ak?1?AkAk(k?1)k?2??kk?1?k?????10??2??0?1? =?kk?1??k??0???k?00?????00?????k?1(k?1)?kk(k?1)k?1????2???0?k?1(k?1)?k?,???00?k?1??所以，对于一切自然数k,都有
?kk?k?1k(k?1)k?k=??A?2?2???0?kk?k?1???.
?00?k??6. 已知AP=PB，其中
?100?B=??000??100?,P=?2?10? ???1??00?1????21??求A及A5.
【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得
?100?A?PBP?1???200?, ?1?1??6???而
A5?(PBP?1)5?P(B)5P?1?100??100??100???2?10????10000??2?10???20????1??????211????00????411????6?1??abcd?7. 设A=?b?ad?c????cda?b??，求|A|. ??d?cba??解：由已知条件，A的伴随矩阵为
0?0??A.?1??? 13
?a??2222?bA=?(a?b?c?d)??c???d又因为A?A=AE，所以有
bcd??ad?c????(a2?b2?c2?d2)A da?b???cba??(a2?b2?c2?d2)A2=AE，且A?0，
2A即 ?(a2?b2?c2?d)2=(a2?b2?c2?d)2A4A=A E4于是有 A??(a2?b2?c2?d2)4??(a2?b2?c2?d2)2. 8. 已知线性变换
x1?2y1?y2,??y1??3z1?z2,???x2??2y1?3y2?2y3,?y2?2z1?z3, ?x?4y?y?5y;?y??z?3z,12323?3?3利用矩阵乘法求从z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换. 【解】已知
?x1??2????2X??x2?????4?x3????y1???3???2Y??y2?????0?y3???10??y1??y??AY,32???2?15????y3??0??z1??z??Bz, 01???2??13????z3??1??421?X?AY?ABz?12?49?z,?????10?116??从而由z1,z2,z3到x1,x2,x3的线性变换为
?x1??4z1?2z2?z3,??x2?12z1?4z2?9z3, ?x??10z?z?16z.123?39. 设A，B为n阶方阵，且A为对称阵，证明：B?AB也是对称阵.
【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A,
所以 (B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故B?AB也为对称阵.
10. 设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA. 【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.
14
则 AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则
(AB)′=B′A′=BA=AB,
所以，AB为对称阵.
11. A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明： (1) B2是对称矩阵.
(2) AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵. 【证明】
因A′=A,B′= ?B,故
(B2)′=B′2B′= ?B2(?B)=B2;
(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′
= ?BA?A2(?B)=AB?BA;
(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′
= ?BA+A2(?B)= ?(AB+BA).
所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.
12. 求与A=??11?01可交换的全体二阶矩阵. ???【解】设与A可交换的方阵为??ab??cd??,则由 ??11??????ab??ab??11?01?cd??=??cd????01??, 得
??a?cb?d??d?????aa?b?c?cc?d??. 由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如??a?0其中a,b为任意数.
?100?13. 求与A=??012?可交换的全体三阶矩阵.
?01?2????【解】由于
??000?A=E+?002?,
??3??01??而且由
b?a?的方阵，?15
??a1b1c1??b1c1??ac??000???000??a12b22??002b2c?2?????002????a2?a3b3c3????01?3????01?3????a3bc?, 33??可得
??0c12b1?3c1??0??0c22b??002?3c2?2a2b32c?3 ??0c2b??33?3c3????a2?3a3b2?3b3c?.32?3c3??由此又可得
c1?0,2b1?3c1?0,2a3?0,a2?3a3?0,c2?2b3,c3?b2?3b3,2b2?3c2?2c3,
2b3?3c3?c2?3c3,所以
a2?a3?b1?c1?0,c2?2b3,c3?b2?3b3.
?a100?即与A可交换的一切方阵为??0b22b?3??其中a1,b2,b3为任意数. ?0b3b2?3b3??14. 求下列矩阵的逆矩阵.
(1) ??12??123?； (2) ?25????012?； ???001????1000?(3)?12?1?200??34?2?? (4) ?
1??； ?5?4?1????2
130??
； ?1214?
?
??5200???(5) ?
2100????0,an?0?，?83??a1?
； (6) ?a20052?
?????a1,a2,?0
?a?n?未写出的元素都是0（以下均同，不另注）. 【解】
?(1) ??5?2??; ?1?21???21? (2) ?01?2?; ?01??0??
16
?1?1????1260??21??(3) ??74?1?; (4) ?16?????3214?2???2?1??8?1?a?1?1?200????2500??; (6) ?(5) ???002?3??????00?58????15. 利用逆矩阵，解线性方程组
0121?65?2400131?12?????. ???1?an??0??0???; 0??1??4?1a2?x1?x2?x3?1,??2x2?2x3?1, ?x?x?2.?12111?111??x1??1???x???1?,而022【解】因?022?0 ???2????1?10?1?10????2???x3???故
?x1??111??x???022??2?????1?10???x3????11?1??1??2?1??????0?12??2?????11???1?0??1??2??????1?3. ?1?????????2?2????2?1????16. 证明下列命题：
(1) 若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*. (2) 若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*. (3) 若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1. 【证明】（1） 因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得
|A|2|B|2B*A*=|AB|E(B*A*)
=(AB) *AB(B*A*)=(AB) *A(BB*)A* =(AB) *A|B|EA*=|A|2|B|(AB) *.
∵ |A|≠0,|B|≠0, ∴ (AB) *=B*A*.
(2) 由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1) *=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A. 于是
17
A* (A?1) *=|A|A?12|A|?1A=E,
所以
(A?1) *=(A*)?1. (3) 因AA′=E，故A可逆且A?1=A′. 由(2)(A*)?1=(A?1) *,得
(A*)?1=(A′) *=(A*)′.
17. 已知线性变换
?x1?2y1?2y2?y3,??x2?3y1?y2?5y3, ??x3?3y1?2y2?3y3,求从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换. 【解】已知
?x1?X???x??221??y1?2??315???x????y?2??AY,?3????323????y3??且|A|=1≠0,故A可逆，因而
??7?49?Y?A?1X???63?7?X,
?32?4????所以从变量x1,x2,x3到变量y1,y2,y3的线性变换为
??y1??7x1?4x2?9x3,?y2?6x1?3x2?7x?3, ?y3?3x1?2x2?4x3,18. 解下列矩阵方程.
(1) ??12??4?6??13??X=??21??； ?21?1??21(2)X??210??1???210?； ?11?????1????1?11??(3) ??14???12??X??20??31???11??=??0?1??； ?010??100??0?4(4) ??100?3??01?X???001???20?1?. 10?????0???0???1?20??
18
?12??4?6??3?2??1【解】(1) 令A=?;B=.由于 A???????13??21???11?故原方程的惟一解为
?3?2??4?6??8?20?X?A?1B????21????27?. ?11??????同理
?100??2?10??11??; (4) X=?03?4?. (2) X=?010?; (3) X=?1?????0????4??001???10?2??19. 若Ak=O (k为正整数)，证明：
(E?A)?1=E+A+A2+【证明】作乘法
(E?A)(E+A+A2+?E+A+A2+?E?Ak?E,+Ak?1)+Ak?1?A?A2?+Ak?1.
?Ak?1?Ak
从而E?A可逆，且
(E?A)?1=E+A+A2++Ak?1
20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1. 【证】因为A2?A?2E=0, 故
1A2?A?2E?(A?E)A?E.
2由此可知，A可逆，且
1A?1?(A?E).
2同样地
A2?A?2E?0,A2?A?6E??4E,(A?3E)(A?2E)??4E, 1?(A?3E)(A?2E)?E.4由此知，A+2E可逆，且
11(A?2E)?1??(A?3E)?(A?E)2.
44 19
?423?21. 设A=??110?，AB=A+2B,求B. ?123?????【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.
而
223A?2E?1?10??1?0,
?121即A?2E可逆，故
?223??1?23?B?(A?2E)?1A???1?10??4110????121???????123?????1?4?3??423???1?5?3??1??3?8?6? 10??2?9?6?.?4?????16????123???????2129???22. 设P?1AP=?. 其中P=???1?4???10??11??，?=??02??， 求A10.【解】因P?1可逆，且P?1?1?3?14???1?1??,故由A=P?P?1 得
A10?(P?P?1)10?P(?10)P?110?4????1??1?4???10?3??11????0?32????1??3?1??3????14?
????1?4??10?33??11????0210???????13?1??3???1??1?212?4?212?3??1?2104?210?????13651364???341?340??.23. 设m次多项式f(x)?a0?a1x??ammx，记
f(A)?a0E?a1A??amAm,f(A)称为方阵A的m次多项式.
20
?1??2??1???2???3???2???????(2) ξ1=?0?,ξ2=?2?,ξ3=?1?.
??????35?????2??????1????3????2??【解】
??2??3?(1) ξ1=?1?ξ2=?0?设齐次线性方程组为Ax=0
???????0???1??由?1,?2为Ax=0的基础解系，可知
??2??3??x1??x1???2k1?3k2????x???? x?k1?1??k2?0???xk221?????????????k2?0???1??????x3????x3???令 k1=x2 , k2=x3
?Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.
?121???2?3?2???(2) A(?1?2?3)=0?A的行向量为方程组为(x1x2x3x4x5)?021??0的解.
??352?????1?3?2??x1?2x2?3x4?x5?0??即?2x1?3x2?2x3?5x4?3x5?0的解为 ?x?2x?x?2x?2x?02345?1?1?203?1??1?203?1?r3?r1?2?325?3?????012?1?1? ???r2?2r1?????1?212?2???001?1?1??得基础解系为?1=(?5 ?1 1 1 0)T ?2=(?1 ?1 1 0 1)T
??5?1110?A=? ???1?1101?方程为
??5x1?x2?x3?x4?0, ??x?x?x?x?0.?123511. 设向量组?1=（1，0，2，3），?2=（1，1，3，5），?3=（1，?1，a+2，1），
46
，?=（1，1，b+3，5） ?4=（1，2，4，a+8）
问：（1） a，b为何值时，?不能由?1，?2，?3，?4线性表出？ （2） a，b为何值时，?可由?1，?2，?3， ?4惟一地线性表出？并写出该表出式.
（3） a，b为何值时，?可由?1，?2，?3，?4线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.
【解】
??x1?1?x2?2?x3?3?x4?4 (*)
?1?0A?(Ab)???2??3?1?0??0??0113511121?1?r3?2r1?????r4?3r1?a?24b?3?1a?85?111??1?0?121?r3?r2??????r4?2r2?0a2b?1????2a?52??01?1121?1?121??0a?10b??00a?10?111
(1) ?不能由?1，?2，?3，?4线性表出?方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.
(2) ?可由?1，?2，?3，?4惟一地线性表出?方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.
(*) 等价于方程组
?x1?x2?x3?x4?1?x?x?2x?1?234??(a?1)x3?b??(a?1)x4?0bba?b?1
?x4?0x3?x2?x3?1??1?a?1a?1a?1b2b?b?x1?1???0???1??a?1?a?1?a?12ba?b?1b?????1??2??3a?1a?1a?1(3) ?可由?1，?2，?3，?4线性表出，且表出不惟一?方程组（*）有无数解，
47
即有
a+1=0,b=0?a=?1,b=0.
?x1?k2?2k1方程组（*）???x?1?1?x2?x3?x4?x2?k1?2k2?1?x2?x3?2x??
4?1?x3?k1??x4?k2k1,k2,k3,k4为常数.
∴??(k2?2k1)?1?(k1?2k2?1)?2?k1?3?k2?4
??x1?x2?a1x?x?12. 证明：线性方程组??23a25?x?3?x4?a3有解的充要条件是?ai?0.
i?1?x4?x5?a4??x5?x1?a5【解】
??1?1000a1?01?1a?2A??00??001?10a?r3????2?r1?0001?1a??4????10001a5????1?1000a1??01?100a?2??001?10a?r5?r3????2??0001?1a?4???0?1001a1?a5????1?1000a1??01?100a?2??001?10a?3?????0001?1a?4???00?101a1?a2?a5????1?1000a1??01?100a?2??001?10a?3? ?0001?1a?4????00001?5a?i?i?1?方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)
48
??ai?0得证.
i?1513. 设?*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1,ξ2,,ξn?r是对应的齐次线性方
程组的一个基础解系.证明
（1）?*,ξ1,,ξn?r线性无关；
（2）?*,?*+ξ1,,?*+ξn?r线性无关.
【 证明】 (1) ?*,ξ1,,ξn?r线性无关? k?*?k1ξ1??kn?rξn?r?0成立,
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0
A(k?*?k1ξ1??kn?rξn?r)?0?kA?*?k?k
1Aξ1?n?rAξn?r?0∵ξ1,ξ2,,ξn?r为Ax=0的基础解系
?A?i?0(i?1,2,,n?r)
?kA?*?0由于A?*?b?0
?k?b?0?k?0..
由于ξ1,ξ2,,ξn?r为线性无关 k1ξ1?ξ2?k2??kn?r?ξn?r?0?ki?0(i?1,2,,n?r)∴?*,ξ1,ξ2,,ξn?1线性无关.
(2) 证?*,?*+ξ1,,?*+ξn?r线性无关.
?k?*?k*1(??ξ1)??kn?r(?*?ξn?r)?0成立
当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0
k?*?k1(?*?ξ1)??kn?r(?*?ξn?r)?0
即
(k?k*1??kn?r)??k1ξ1??kn?rξn?r?0
由(1)可知，?*,ξ1,,ξn?1线性无关.
49
即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且
k?k?k?0?k?0
1n?r∴?*,?*+ξ1,,?*+ξn?r线性无关.
14. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)
?（Ⅰ）?x1?x2?2x4??6?x1?mx2?x3?x4??5?4xx?1?2?x3?x4?1 (Ⅱ) ?nx2?x3?2x4??11
??3x1?x2?x3?3??x3?2x4?1?t(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；
(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？ 解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换
??110?2?6??10?2?6???4?1?1?11???1?110?2?6???0?5?1725??00?125??3?1?103????0?4?1621????10?1?4??0??? ?100?1?2??010?1?4???001?2?5???由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组
??x1?x4?0?x2?x4?0 ??x3?2x4?0得方程组（*）的基础解系
??1????1?1??2??
?1?????2?令x ????4?4?0，得方程组（Ⅰ）的特解 ????5?
?0??于是方程组（Ⅰ）的通解为x???k?，k为任意常数。
(2) 方程组（Ⅱ）的增广矩阵为
??1m?1?1?5??0n??44m?3n0012?t??1?2?11??01?21?t??0n0?4?10?t? ?0????001?21?t???
*）50
（