第13讲 数列总复习（二）
1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，
特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③
222常用公式：1?2?3???n?1n(n?1)，1?2???n?1n(n?1)(2n?1)，
2n(n?1)213?23?33???n3?[].
26例、已知log3x??123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23解：由log3x??11?log3x??log32?x?
log232由等比数列求和公式得 Sn?x?x2?x3?????xn （利用常用公式）
11(1?n)x(1?x)22＝1－1 ＝＝
12n1?x1?22.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一
n起，再运用公式法求和.
111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa例2、 求数列的前n项和：1?1,将其每一项拆开再重新组合得
111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
2211?n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na??当a?1时，Sn?＝ 1a?1221?a3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推
Sn?(1?导方法）.
例3、求sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?的值
解：设S?sin21??sin22??sin23??????sin288??sin289?…………. ①
将①式右边反序得
S?sin289??sin288??????sin23??sin22??sin21?…………..② （反序）
又因为 sinx?cos(90??x),sin2x?cos2x?1
①+②得 （反序相加）
2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴ S＝44.5
4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）. 例4、 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………① 解：由题可知，{(2n?1)xn?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{xn?1}的通项之
积
设xSn?1x?3x2?5x3?7x4?????(2n?1)xn………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x2?2x3?2x4?????2xn?1?(2n?1)xn （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn?
(1?x)22462n例5、求数列,2,3,???,n,???前n项的和.
22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积
222462n设Sn??2?3?????n…………………………………①
222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错22222位）
①－②得(1?)Sn?12222222n?2?3?4?????n?n?1 （错位相222222减）
2n?1n?2 ∴ Sn?4?n?1
25.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那
么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ①
?2?1?2n 2n?111?1?1；②?1(1?1)； n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k111111111111??(?)，； ??????k2k2?12k?1k?1kk?1(k?1)kk2(k?1)kk?1kn111111④； ?[?] ；⑤??n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!22?1??2(n?n?1). ⑥2(n?1?n)? n?n?1nn?n?1③
例6、 求数列
11?21,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
解：设an?则 Sn?n?n?111?2? ?n?1?n （裂项）12?3?????1n?n?1 （裂项求和）
＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1
例7、 在数列{an}中，an?n项的和.
12n2??????，又bn?，求数列{bn}的前n?1n?1n?1an?an?112nn??????? n?1n?1n?12211 ∴ bn??8(?) （裂项）
nn?1nn?1?22解： ∵ an?∴ 数列{bn}的前n项和
1111111Sn?8[(1?)?(?)?(?)?????(?)] （裂项求和）
22334nn?18n1) ＝ ＝8(1?
n?1n?16.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。 例8 、求1?11?111?????111????1之和. ??n个1???1?解：由于111???k个111k?999???9?(10?1) （找通项及特征） ?????99k个1n个1∴ 1?11?111?????111????1 ??＝
11111(10?1)?(102?1)?(103?1)?????(10n?1) （分组求和） 9999＝
111(10?102?103?????10n)?(1?1??1??????1) ???99??n个1110(10n?1)n? ＝?910?19＝
1(10n?1?10?9n) 817、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.
例 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
例 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
（1）求和：
111????? ； 1?44?7(3n?2)?(3n?1)（2）在数列{an}中，an?②求和：1?1n?n?1，且Sｎ＝９，则n＝_____ ；
111????? ； 1?21?2?31?2?3???n①求数列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n项和Sn= ；
数列求和课后练习
[例1] 已知log3x?
[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求f(n)?
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.
[例3] 求和：Sn?1?3x?5x2?7x3?????(2n?1)xn?1………………………①
?123n，求x?x?x?????x????的前n项和. log23Sn的最大值.
(n?32)Sn?1
[例4] 求数列
2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 2222三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1?an).
[例5] 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值
四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和：1?1,
2?2?2?2?2?111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
sin1???（1）an?f(n?1)?f(n) （2） ?tan(n?1)?tann??cosncos(n?1)111(2n)2111??（3）an? （4）an??1?(?)
n(n?1)nn?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1（5）an?(6)
1111?[?]
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)an?n?212(n?1)?n1111 ?n??n??,则S?1?nn?1nnn(n?1)2n(n?1)2n?2(n?1)2(n?1)211?2,12?3,???,1n?n?1,???的前n项和.
[例9] 求数列
[例10] 在数列{an}中，an?n项的和.
12n2??????，又bn?，求数列{bn}的前n?1n?1n?1an?an?1111cos1???????? [例11] 求证：
cos0?cos1?cos1?cos2?cos88?cos89?sin21?