2014年皖西七校高三年级联合考试数学（理科）试卷
命制单位：霍邱一中
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分，考试时间120分钟。 所有答案均写在答题卡上，否则无效。考试结束后只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题 50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求. 1.复数z?2i20141?2i（i是虚数单位）在复平面内的对应点位于
(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限
22.命题“若a?0，则一元二次方程x?x?a?0有实根”的原命题与其逆命题，否命题 逆否命题中真命题的个数是
(A) 0 (B) 2 (C) 4 (D) 不确定 3. 若a?2,b?1，且a与b的夹角为60，当a?xb取得最 小值时，实数x值为
?11正视图1侧视图(A) 2 (B) ?2 (C) 1 (D) ?1
4. 一个几何体按比例绘制的三视图如右图所示（单位：m），则 111该几何体的体积为
俯视图73937393(A) m (B) m (C) m (D) m
32245.已知集合A?{x||2x?1|?3}，集合B??x|y???x?1??，则A?(CRB)= x?2?n(A) (1,2) (B) (1,2] (C) (1,??) (D) ?1,2?
6.已知数列{an}是等差数列，a1?tan225?,a5?13a1，设Sn为数列{(?1)an}的前n项 和，则S2014=
(A) 2014 (B) ?2014 (C) 3021 (D) ?3021 7.已知?,?是两个不同的平面，下列四个条件中能推出?//?的是
①存在一条直线a,a??,a??； ②存在一个平面?,???,???； ③存在两条平行直线a,b,a??,b??,a//?,b//?； ④存在两条异面直线a,b,a??,b??,a//?,b//?.
(A) ①③ (B) ②④ (C) ①④ (D) ②③
8.设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2?的偶函数，f?(x)是f(x)的导函数，当
x?[0,?]时，0?f(x)?2；当x?(0,?)且x??2时，(x??2)f?(x)?0，则函数
数学（理科） 第 1 页 共 9 页
y?f(x)?|tanx|在区间[?2?,2?]上的零点个数为
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
229.在平面直角坐标系中，定点M(1,0)，两动点A，B在双曲线x?3y?3的右支上，则cos?AMB的最小值是 (A) ?1111 (B) (C) ? (D)
3322?2x,x?0,10.设函数f(x)??若对任意给定的y?(2,??)，都存在唯一的x?R，满足
?log2x,x?0,f(f(x))?2a2y2?ay，则正实数a的最小值是
(A) 0.25 (B) 0.5 (C) 2 (D) 4
第Ⅱ卷（非选择题 100分）
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11.已知sin(??2?1?)?，则sin(??)? . 343x?212.已知函数y?a?2(a?0且a?1)的图象恒过定点A(m,n)，则不等式组
?mx?ny?2?0,??8x?y?4?0,所表示的平面区域的面积是 . ?x?0,y?0,?a2?b213.已知a?b，且ab?1错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。的最小
a?b值是 .
14.在三棱锥P?ABC中，PA?PB?PC?12，?ACB?30，AB?6，则PB与平面ABC所成角的余弦值为 . 15.方程
?xx16?yy9??(??0)的曲线即为函数y?f(x)的图象，对于函数y?f(x),
下列命题中正确的是 .（请写出所有正确命题的序号） ①函数y?f(x)在R上是单调递减函数； ②函数y?f(x)的值域是R；
③函数y?f(x)的图象不经过第一象限；④函数y?f(x)的图象关于直线y?x对称； ⑤函数F(x)?4f(x)?3x至少存在一个零点.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)
数学（理科） 第 2 页 共 9 页
16. (本小题满分12分) 已知函数f(x)?alnx?2?x，其中a?R. x（Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值点；
（Ⅱ）若f(x)在区间?1,???内单调递增，求a的取值范围.
17.(本小题满分12分) 已知函数f(x)?31?cos?x(??0,??0)的部分图象如图所示，其中点?sin?x+22A为最高点，点B,C为图象与x轴的交点，在三角形?ABC中，角A,B,C对边为a,b,c，
b?3，且满足(2c?3a)cosB?3bcosA?0.
（Ⅰ）求三角形?ABC的面积; （Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间.
18. (本小题满分12分)
yOABCx如图1，已知⊙O的直径AB?4，点C,D为⊙O上两点，且?CAB?45，
??DAB?60?，F为弧BC的中点. 将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相
垂直，如图2.
（Ⅰ）求证：OF//AC;
（Ⅱ）在弧BD上是否存在点G，使得FG//平面ACD?若存在，试指出点G的位置；若不存在，请说明理由;
（Ⅲ）求二面角C?AD?B的正弦值.
19. (本小题满分13分)
数学（理科） 第 3 页 共 9 页
学校操场边有一条小沟，沟沿是两条长150米的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深2米，沟中水深1米. （Ⅰ）求水面宽; （Ⅱ）如图1所示形状的几何体称为柱体. 已知柱体的体积为底面积乘以高. 求沟中的水有多少立方米;
（Ⅲ）现在学校要把这条水沟改挖成截面为等腰梯形的沟，沟的底面与地面平行，沟深不变，两腰分别与抛物线相切（如图2），问改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
BAA
20. (本小题满分13分)
BPO图1O图2在平面直角坐标系中，已知点E(?1,0)和F(1,0)，圆E是以E为圆心，半径为22的圆，点P是圆E上任意一点，线段FP的垂直平分线l和半径EP所在的直线交于点Q. （Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程T；
（II）已知M，N是曲线T上的两点，若曲线T上存在点P，满足OM?ON??OP（O 为坐标原点），求?的取值范围.
21. (本小题满分13分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn?2an?2,n?N.
（Ⅰ）函数y?f(x)与函数y?2互为反函数，令bn?f(an)，求数列{an?bn}的前
x*n项和Tn；
（II）已知数列?cn?满足cn?2?ann?1??(?1)?，证明：对任意的整数k?4， 3?4??有
1118???????. c4c5ck92014年 “皖西七校” 高三联合考试
数学（理科） 第 4 页 共 9 页
数学（理科）参考答案
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一．选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 C 5 B 6 C 7 C 8 D 9 D 10 A
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二．填空题 11. ?11 12. 2 13. 22 14. 15.①②③
24
三、解答题（注：以下各题仅给出一种参考解法，其它解法请酌情给分。） 16. (本小题满分12分)
12x2?x?2解：（1）当a?1时f(x)??2?1??0?x?1或x??2????3分
xxx2'x f'(x) ?0,1? ? 单调减 1 0 极小值 ?1,??? ? 单调增 f(x) 所以f(x)有极小值点x?1，无极大值点。?????????????????? 6分
a2x2?ax?2?0 （2）f?(x)??2?1?xxx22?x对x??1,???恒成立????????????9分 x22又y??x在?1,???单调递减，所以a?(?x)max?1???????????12分
xx所以x?ax?2?0?a?217. (本小题满分12分)
解：（1）由(2c?3a)cosB?3bcosA?0,得B??6.??????????3分
数学（理科） 第 5 页 共 9 页
在?ABC中，BC边上的高h?csinB?1333.故S?ABC??BC?h????6分
242（2）f(x)?又T?又?13??sin?x??cos?x??sin(?x?)，BC?2bcosB?3. 2232???6，则???3?，故f(x)??sin(?3x??3)????????????9分 51?6k?x??6k， 22?2?2k???3x??3?2?2k?(k?Z)，可得 ?所以f(x)单调增区间为??1?5??6k,?6k?k?Z?????????????12分
2?2?18. (本小题满分12分)
解：（Ⅰ）解答略. ??????????????????3分 （Ⅱ）取弧BD的中点G，连结OG、FG，则?BOG=?BAD=60? ????5分 故OG∥AD又OF∥平面ACD，
故平面OFG∥平面ACD，则FG∥平面ACD.
因此，在弧BD上存在点G，使得FG//平面ACD，且点G为弧BD的中点．……7分 （Ⅲ）过O作OE?AD于E，连CE．
因为CO?AB，平面ABC⊥平面ABD， 故CO⊥平面ABD．
又因为AD?平面ABD， 故CO?AD， 所以AD?平面CEO，AD?CE， 则∠CEO是二面角C-AD-B的平面角．
?又?OAD?60，OA?2，故OE?3.
?AEDC?F?由CO⊥平面ABD，OE?平面ABD， 得?CEO为直角三角形，又CO?2， 故CE?7可得cos?CEO=
321=． 77OBG?故二面角C?AD?B的正弦值为19. (本小题满分13分)
27. ????????????????12分 7解：(Ⅰ)如图建立平面直角坐标系，设抛物线段的方程为y?ax,?1?x?1 将点B(1,2)坐标代人方程求得a?2.所以y?2x,?1?x?1
22数学（理科） 第 6 页 共 9 页
当y?1时，x??2，所以水面宽是2米；????4分 222y（Ⅱ）V?2?150?0(1?2x2)dx
PD?22?2?3????1002（立方米）??????8分 ?300?????23?2?????22OCx（Ⅲ）设切点P(t,2t)(0?t?1)，则切线方程为y?2t?4t(x?t)，?????10分 其与x轴的交点C(t,0)，与直线y?2的交点D(?12t21,2) 2t所以梯形的面积=2(tt111??)?2??2?2?22 222t22当且仅当t?12时，等号成立. ,t?2t22米时，所挖的土最少. ????????????13分 2所以改挖后的沟底宽为20. (本小题满分13分)
解：（1）点Q在线段FP的垂直平分线上，则PQ?QF， 又PE?PQ?QE?22，则QE?QF?22，
x2?y2?1 ????????6分 故可得点Q的轨迹方程T为2（II）令经过点M，N的直线为l，则l的斜率存在，设直线l的方程为y?kx?m， 将其代入椭圆方程整理可得(1?2k)x?4kmx?2m?2?0．??????????8分
设点M，N的坐标分别为M(x1,y1)，N(x2,y2),P(x0,y0)，
2222m4km2m2?2,xx?y?y?k(x?x)?2m?则x1?x2??，故. 1212122221?2k1?2k1?2k数学（理科） 第 7 页 共 9 页
（1）当m?0时，点M，N关于原点对称，则??0．??????????10分 （2）当m?0时，点M，N不关于原点对称，则??0， 由OM?ON??OP得(x1,y1)?(x2,y2)??(x0,y0) 故x1?x2??x0，y1?y2??y0，则x0??4km2m ,y?022?(1?2k)?(1?2k)因为P在椭圆上，故[?4km2m2]?2[]2?2 22?(1?2k)?(1?2k)222化简，得4m(1?2k)??(1?2k)，又1?2k?0，故得4m??(1?2k)……① 又??16km?4(1?2k)(2m?2)?8(1?2k?m)?0，得1?2k?m……② 联立①、②两式及m?0得??4，故?2???2且??0.
综上（1）、（2）两种情况，得实数λ的取值范围是?2???2????????????
13分
21. (本小题满分13分)
（Ⅰ）由a1?S1?2a1?2，得a1?2??????????????????2分 当n?2时，有an?Sn?Sn?1?2(an?an?1)，
22222222222222an?2， an?1所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an?2n???????4分
n由题意得bn?log2an?n，所以an?bn?n?2.
Tn?1?2?2?22?????n?2n ①，
23nn?1①?2得2?Tn?1?2?2?2?????(n?1)?2?n?2 ②， 2nn?1??(n?1)?2n?1?2， ①-②得?Tn?2?2?????2?n?2n?1所以Tn?(n?1)?2?2 ??????????????????????7分
（Ⅱ）由通项公式得c4?2.当n?3且n为奇数时，
数学（理科） 第 8 页 共 9 页
n?1n?232?23?11?113?11?32?2???? ?n?2???n?2?n?1???2n?32n?3n?1?n?1n?22?222?cncn?12?2?12?1?22?2?2?12n?1n?2当k?4且k为偶数时，
1111111113?111?????????(?)?????(?)???3?4?????k?2?=c4c5ckc4c5c6ck?1ck22?222?131?1????1?k?4224?2?138????. ??????????????????10分 ?28911111118???????????????. c4c5ckc4c5ckck?191118???????. ???????????13分 c4c5ck9当k?4且k为奇数时，
所以对任意的整数k?4，有
数学（理科） 第 9 页 共 9 页