2013硕士研究生入学考试
数学一
1.已知极限limx?arctanxx12kx?0?c，其中k，c为常数，且c?0，则（ ）
12 C. k?3,c??A. k?2,c??2 B. k?2,c?13 D. k?3,c?13
2.曲面x?cos(xy)?yz?x?0在点(0,1,?1)处的切平面方程为（ ）
A. x?y?z??2 B. x?y?z?0 C. x?2y?z??3 D. x?y?z?0
3.设f(x)?x?12，bn?2?1?0sin?nf(x)sinn?xdx(n?1,2,?)，令S(x)??bnn?1x，则
S(?A .
94)?（ ）
14 C. ?2234 B.
2214 D. ?2234
224.设L1:x?y?1，L2:x?y?2，L3:x?2y?2，L4:2x?y?2为四条逆时针方向
的平面曲线，记Ii???(y?Liy36)dx?(2x?x33)dy(i?1,2,3,4)，则max?I1,I2,I3,I4??
A. I1 B. I2 C. I3 D I4 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价
?1?6.矩阵a??1?aba1??2??a与0???1???00b00??0相似的充分必要条件为（ ） ?0??A. a?0,b?2 B. a?0,b 为任意常数 C. a?2,b?0 D. a?2,b 为任意常数
)X2?N(0,2)，X3?N(5,3)，7.设X1,X2,X3是随机变量，且X1?N(0,1，
22Pi?P??2?Xi?2?(i?1,2,3)，则（ ）
A. P1?P2?P3 B. P2?P1?P3 C. P3?P2?P2 DP1?P3?P2
8.设随机变量X?t(n),Y?F(1,n)，给定a(0?a?0.5)，常数c满足P?X?c??a，则
P?Y?c2??( )
1nn?09.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则limn[f()?1]＝ 。
10.已知y1=e3x –xe2x，y2=ex –xe2x，y3= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y= 。
2?x?sintdy(t为参数)，则11.设?2y?tsint?costdx?? 。
t??412.
???lnx(1?x)21dx? 。
13.设A=(aij)是3阶非零矩阵，A为A的行列式，Aij为aij的代数余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝ 。
14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}= 三．解答题：
（15）（本题满分10分） 计算
?1f(x)xdx，其中f(x)＝
0?xln(t?1)t1dt.
(16)(本题10分)
设数列｛an｝满足条件：a0?3,a1＝1，an?2?n(n?1)an＝0(n?2).S（x）是幂级数
??an?0nx的和函数.
n（1）证明：S??(x)?S(x)?0; （2）求S(x)的表达式.
（17）（本题满分10分） 求函数f(x,y)?(y?(18)(本题满分10分)
设奇函数f(x)在??1,1?上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：
x33)ex?y的极值.
（0,1），使得f?(?)?1. （I）存在????）（?1,1），使得f??(?)?f（?1. （Ⅱ）存在??
19.(本题满分10分)
设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面?，?与平面z?0,z?2所围成的立体为?。 （1） （2）
求曲面?的方程； 求?的形心坐标。
20.（本题满分11分） 设A???1?1a??0,B???0??11??，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。 b?21.（本题满分11分）
设二次型f(x1,x2,x3)?2(a1x1?a2x2?a3x3)?(b1x1?b2x2?b3x3)22?a1?，记??a2??a?3??，????b1???b2??b?3（1） （2）
??。 ???T证明二次型f对应的矩阵为2?????；
22T若?,?正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y1?y2。
22.（本题满分11分）
?12?x,设随机变量X的概率密度为f(x)??a?0,?（1） （2）
求Y的分布函数； 求概率P?X?Y?.
?2,0?x?3,?令随机变量Y??x,?1,其他?x?1,1?x?2, x?223.(本题满分11分)
??2??xe,?设总体X的概率密度为f(x;?)??x3?0,?来自总体X的简单随机样本。 （1） （2）
求?的矩估计量； 求?的最大似然估计量。
x?0,其他?,Xn为其中?为未知参数且大于零，X1,X2，
2013年考研数学一解析
１． 【分析】这是
00型未定式，使用洛必达则即可．或者熟记常见无穷小的马克劳
x22林公式则可快速解答．【详解1】lim1k13x?arctanxxkx?02x1?x?lim?lim?c，所以x?0kxk?1x?0kxk?1k?1?2，c?，即k?3,c?．
13x?o(x)，显然x?arctanx?33【详解2】 因为arctanx?x?k?3,c?1313x3，当然有
．应该选（Ｄ）
2． 【分析】此题考查的是空间曲面在点M(x0,y0,z0)处的法向量及切平面的方程．其中法向量为n??Fx,Fy,Fz?|(x【详解】设
,y0,z0)0．
2F(x,y,z)?x?cos(xy)?yz?x，则在点点(0,1,?1)处
n??Fx,Fy,Fz?|(x0,y0,z0?(1,?1,1)，从而切平面方程为(x?0)?(y?1)?(z?1)?0，即
x?y?z??2．应该选（Ａ）
３．【分析】此题考查的是傅立叶级数的收敛性．
?【详解】由条件可知，?bnsinn?x为f(x)?x?n?1?12的正弦级数，所以应先把函数进行奇
延拓，由收敛定理可知S(x)??bn?1nsinn?x也是周期为２的奇函数，故
S(?91?1??1??1?． )?S?????S????f????，应选（Ｃ）
44444??????４．【分析】此题考查的是梅林公式和二重积分的计算． 【详解】由格林公式，
33??y?x??dx??2x??dy?Ii???y????Li?63??????Di2?y?2?1?x??dxdy?S(Di)???2????Di2?2y??x??dxdy??2??．
x?y?R2??2(x?22y22)dxdy?342??2(x?y)dxdy?2223x?y?R?42?0d??rdr?0R338?R.
4
所以I1???xa3822??yb5822?，I2?2??38??4??2；
在椭圆D：?2?1上，二重积分最好使用广义极坐标计算：
xa22???yb(x?222y2)dxdy??2?01?122?2222d???arcos??brsin??abrdr02???1?ab4?2?0?2?b2?acos2????sin???2??528222ab(a?4222b22)?2?0ab(a?cos?d??22b2 )24?故I3?2???，I4?2?????．
显然I4?22． ?最大．故应选（Ｄ）
５．【详解】把矩阵A，C列分块如下：A???1,?2,?,?n?,C???1,?2,?,?n?，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知?i?bi1?1?bi2?2???bin?n(i?1,2,?,n)，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即A?CB?1，同理可知矩阵A的列
向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
?2?6．【详解】注意矩阵?0?0??2??0?0?0b00b00??1??0?是对角矩阵，所以矩阵A=?a?10???aba1??a?与矩阵1??0??0?相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等． 0????1?E?A??a?1?a?1?a???(??(b?2)??2b?2a)
22??b?a??12从而可知2b?2a?2b，即a?0，b为任意常数，故选择（B）．
7． 【详解】若X~N(?,?)，则
2X???~N(0,1)
X??P1?2?(2)?1，P2?P??2?X2?2??P??1?2?1??2?(1)?1，
2??