9.2 直线与平面平行
●知识梳理
1.直线与平面的位置关系有且只有三种，即直线与平面平行、直线与平面相交、直线在平面内. 2.直线与平面平行的判定：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行.
3.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行.
●点击双基
1.设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是 A.α⊥β且m⊥β B.α∩β=n且m∥n C.m∥n且n∥α D.α∥β且mβ
答案：D
2.设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面.给出下列四个命题，其中正确命题的序号是
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n ②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α，n∥α，则m∥n ④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β A.①② B.②③
C.③④
D.①④
解析：①②显然正确.③中m与n可能相交或异面.④考虑长方体的顶点，α与β可以相交. 答案：A
3.一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 A.异面 B.相交 解析：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
C.平行
D.不能确定
过直线a作与α、β都相交的平面γ， 记α∩γ=b，β∩γ=c， 则a∥b且a∥c， ∴b∥c.
又b?α，α∩β=l，∴b∥l.∴a∥l.
c?al?b? 答案：C
4.(06重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l
A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线
解析：对于任意的直线l与平面?，若l在平面α内，则存在直线m⊥l；若l不在平面α内，
且l⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l，若l不在平面α内，且l于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面?内必有直线m垂直于它的射影，则m与l垂直， 综上所述，选C.
5.已知平面?,?和直线，给出条件：①m//?；②m??；③m??；④???；⑤?//?. （i）当满足条件 ③⑤ 时，有m//?；（ii）当满足条件 ②⑤ 时，有m??.
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（填所选条件的序号）
●典例剖析
【例1】 如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM=FN，求证：MN∥平面BCE.
ADMBPCNQEF
证法一：过M作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足（如上图），连结PQ. ∵MP∥AB，NQ∥AB，∴MP∥NQ. 又NQ=
2222 BN=CM=MP，∴MPQN是平行四边形.
∴MN∥PQ，PQ?平面BCE.而MN?平面BCE，∴MN∥平面BCE. 证法二：过M作MG∥BC，交AB于点G（如下图），连结NG.
AGDMBCENF
∵MG∥BC，BC?平面BCE，MG?平面BCE，∴MG∥平面BCE. 又
BGGA=
CMMA=
BNNF，∴GN∥AF∥BE，同样可证明GN∥平面BCE.
又面MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCE.又MN?平面MNG.∴MN∥平面BCE.
特别提示
证明直线和平面的平行通常采用如下两种方法：①利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线”平行，证得“线面”平行；②利用两平面平行的性质定理，通过“面面”平行，证得“线面”平行.
【例2】 已知正四棱锥P—ABCD的底面边长及侧棱长均为13，M、N分别是PA、BD上的点，且PM∶MA=BN∶ND=5∶8.
PMDAOENBC
（1）求证：直线MN∥平面PBC；
（2）求直线MN与平面ABCD所成的角. （1）证明：∵P—ABCD是正四棱锥，
∴ABCD是正方形.连结AN并延长交BC于点E，连结PE. ∵AD∥BC，∴EN∶AN=BN∶ND. 又∵BN∶ND=PM∶MA，
∴EN∶AN=PM∶MA. ∴MN∥PE. 又∵PE在平面PBC内，∴MN∥平面PBC.
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（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN与平面ABCD所成的角就是PE与平面ABCD所成的角. 设点P在底面ABCD上的射影为O，连结OE，则∠PEO为PE与平面ABCD所成的角. 由正棱锥的性质知PO=PB2?OB2=
1322.
658由（1）知，BE∶AD=BN∶ND=5∶8， ∴BE=在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=根据余弦定理，得PE=在Rt△POE中，PO=∴sin∠PEO=
POPE9182.
658，
.
213，PE=
918，
=
427.
427故MN与平面ABCD所成的角为arcsin.
【例3】如图, 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AA1＝4，点D是AB的中点，
（I）求证：AC⊥BC1； （II）求证：AC 1//平面CDB1； （III）求异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值．
解析：（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4,AB=5，
∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1；
（II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，∵ D是AB的中点， E是BC1的中点，∴ DE//AC1， ∵ DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1；
（III）∵ DE//AC1，∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角，在△CED中， ED=
12AC 1=
52，CD=
812AB=
52，CE=
12CB1=22，
∴ cos?CED?2?22?52?225，
∴ 异面直线 AC1与 B1C所成角的余弦值
225.
●闯关训练
夯实基础
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1. （07福建理）已知m、n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是
为两个不同的平面，
A. m??,n??,m∥?，n∥?? ?∥? B. ?∥?，m??,n??，?m∥n C. m⊥?，m⊥n?n∥? D. n∥m,n⊥??m⊥? 解析：A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在?内，不正确，选D
2.（06福建卷）对于平面?和共面的直线m、n，下列命题中真命题是 A.若m⊥?，m⊥n，则n∥? B.若m∥?，n∥?，则m∥n
C.若m??，n∥?，则m∥n D.若m、n与?所成的角相等，则n∥m 解：对于平面?和共面的直线m、n,真命题是“若m??,n∥?,则m∥n”， 选C. 3.（06湖南卷）过平行六面体ABCD-A1B1C1D1任意两条棱的 中点 作直线,其中与平面DBB1D1平行的直线共有 ( ) A. 4条 B.6条 C.8条 D.12条
解：如图，过平行六面体ABCD?A1B1C1D1任意两条棱的中点
AA1DD1C1B1CB作直线, 其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，选D.
4.(06重庆卷)若P是平面?外一点，则下列命题正确的是
A.过P只能作一条直线与平面?相交 B.过P可作无数条直线与平面?垂直 C.过P只能作一条直线与平面?平行 D.过P可作无数条直线与平面?平行 解析：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行， 且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D
5.如图，在三棱柱ABC—A′B′C′中，点E、F、H、 K分 别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的 重心. 从K、H、G、B′中取一点作为P， 使得该棱柱恰有 2条棱与平面PEF平行，则P为 （ C ）
A．K B．H C．G D．B′
6.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点.
在上面结论中，正确结论的编号是__________.（写出所有正确结论的编号） 解析：A1D与BC1在平面ABCD上的射影互相平行； AB1与BC1在平面ABCD上的射影互相垂直；
DD1与BC1在平面ABCD上的射影是一条直线及其外一点.
D1A1B1C1DABC
答案：①②④
7.已知Rt△ABC的直角顶点C在平面α内，斜边AB∥α，AB=26，AC、BC分别和平面α 成45°和30°角，则AB到平面α的距离为__________.
解析：分别过A、B向平面α引垂线AA′、BB′，垂足分别为A′、B′.
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AB'A?CB' 设AA′=BB′=x，则AC2=（
xsin45）2=2x2，
BC2=（
xsin30）2=4x2.又AC2+BC2=AB2，∴6x2=（26）2， x=2. 答案：2
8、（07江西）右图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，
截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝l，∠AlBlC1＝90°，AAl＝4，BBl＝2，CCl＝3。
（I）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1； （II）求二面角B—AC—A1的大小； （Ⅲ）求此几何体的体积；
解法一：（1）证明：作OD∥AA1交A1B1于D，连C1D． 则OD∥BB1∥CC1．因为O是AB的中点， 所以OD?12(AA1?BB1)?3?CC1．
A O A2 H C C2
x A1 C1
D B1 则ODC1C是平行四边形，因此有OC∥C1D．
C1D?平面C1B1A1且OC?平面C1B1A1，
则OC∥面A1B1C1．
（2）如图，过B作截面BA2C2∥面A1B1C1，分别交AA1，CC1于A2，C2． 作BH?A2C2于H，连CH．
因为CC1?面BA2C2，所以CC1?BH，则BH?平面A1C． 又因为AB?5，BC?2，AC?3?AB?BC?AC．
222所以BC?AC，根据三垂线定理知CH?AC，所以∠BCH就是所求二面角的平面角． 因为BH?22，所以sin∠BCH??BHBC?12，故∠BCH?30，
?即：所求二面角的大小为30．
22131121?(1?2)?2??． 3222（3）因为BH?，所以VB?AAC22C?SAA2C2C?BH?VA1B1C1?A2BC2?S△A1B1C1?BB1?12?2?1．
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所求几何体体积为 V?VB?
解法二：
A2AC2?VC?1C1A1B2A3． ?B2C2（1）如图，以B1为原点建立空间直角坐标系，
则A(0，1，4)，B(0，0，2)，C(1，0，3)，因为O是AB的中点， 所以O?0，，?3?，OC??1，?2???1??????1?，0?． 2?y A1 A O z B C
x
C1
?易知，n?(0，0，1)是平面A1B1C1的一个法向量．
?????因为OC?n?0，OC?平面A1B1C1，所以OC∥平面A1B1C1．
????????（2）AB?(0，?1，?2)，BC?(1，，01)， ??设m?(x，y，z)是平面ABC的一个法向量，则
B1 ??????????????y?2z?0则AB?m?0，BC?m?0得：?
x?z?0???取x??z?1，m?(1，，2?1)．
?显然，l?(1，1，0)为平面AA1C1C的一个法向量．
??????m?l1?2?03则cosm，，结合图形可知所求二面角为锐角． l??????22?6m?l?所以二面角B?AC?A1的大小是30．
P（3）同解法一． 培养能力
9.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中， ∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a, 点E在PD上，且PE:ED=2:1.
EABCPD（I）证明PA⊥平面ABCD；
（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角?的大小； （Ⅲ）在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？ 证明你的结论.
（Ⅰ）证明 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，
EABHCGD第 6 页 共 11 页
由PA⊥平面ABCD.
知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH， 则EH⊥AC，∠EHG即为二面角?的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以 EG?从而 tan??EGGH?3313a,AG?23a,GH?AGsin60??33a.
, ??30?.
（Ⅲ）解法一 以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为
A(0,0,0),B(32a,?12a,0),C(23a,1332a,12a,0).
zPD(0,a,0),P(0,0,a),E(0,a).
所以 AE?(0,23a,13a),AC?(323212a,12a,0).
FAEDCyAP?(0,0,a),PC?(BP?(?32a,12a,a,?a).
Bx32a?,1212a,a).
设点F是棱PC上的点，PF??PC?(BF?BP?PF?(?3212a,12a,a)?(32a?,?a?),其中0???1,则
a?,a?,?a?)
?(32a(??1),a(1??),a(1??)). 令 BF??1AC??2AE 得
?33?a(??1)?a?1,????1??1,2?2?124?1?a(1??)?a??a?,即1??????2, ??1212233??11??a(1??)?a?.1????2.2??33??113113解得 ??,?1??,?2?. 即 ??时，BF??AC?AE.
222222亦即，F是PC的中点时，BF、AC、AE共面.
又 BF?平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC.
P解法二 当F是棱PC的中点时，BF//平面AEC，证明如下， 证法一 取PE的中点M，连结FM，则FM//CE. ① 由 EM?12PE?ED, 知E是MD的中点.
MFEDOC连结BM、BD，设BD?AC=O，则O为BD的中点. 所以 BM//OE. ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC.
又 BF?平面BFM，所以BF//平面AEC. 证法二
BA第 7 页 共 11 页
因为 BF?BC??AD?12CP?AD?12(CD?DP)
12CD?12AC.32DE?AD?12(AD?AC)?32(AE?AD)
?32
AE?所以 BF、AE、AC共面.
又 BF?平面ABC，从而BF//平面AEC. 探究创新
10.如下图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过
21点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
D1A1DAN C1M CBB1E
（1）求证：EM∥平面A1B1C1D1；
（2）求二面角B—A1N—B1的正切值；
（3）设截面A1BMN把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2）， 求V1∶V2的值.
（1）证明：设A1B1的中点为F，连结EF、FC1. ∵E为A1B的中点，∴EF12B1B.
PD1HA1DEABMFB1CNC1
又C1M12B1B，∴EFMC1.
∴四边形EMC1F为平行四边形.
∴EM∥FC1.∵EM?平面A1B1C1D1，
FC1?平面A1B1C1D1， ∴EM∥平面A1B1C1D1. （2）解：作B1H⊥A1N于H，连结BH. ∵BB1⊥平面A1B1C1D1，∴BH⊥A1N. ∴∠BHB1为二面角B—A1N—B1的平面角.
∵EM∥平面A1B1C1D1，EM?平面A1BMN，平面A1BMN∩平面A1B1C1D1=A1N， ∴EM∥A1N. 又∵EM∥FC1，∴A1N∥FC1.
又∵A1F∥NC1，∴四边形A1FC1N是平行四边形.∴NC1=A1F. 设AA1=a，则A1B1=2a，D1N=a. 在Rt△A1D1N中，
2A1N=A1D1?D1N2=5 a， ∴sin∠A1ND1=
A1D1A1N=
25.
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在Rt△A1B1H中，B1H=A1B1sin∠HA1B1=2a〃
25=
45 a.
在Rt△BB1H中，tan∠BHB1=
BB1B1H=
a45a=
54.
（3）解：延长A1N与B1C1交于P，则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C. 又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C=BM，
∴P∈BM，即直线A1N、B1C1、BM交于一点P. 又∵平面MNC1∥平面BA1B1，
∴几何体MNC1—BA1B1为棱台.∵S?ABB=
11121〃2a〃a=a2，S?MNC=
112〃a〃
1412a=
714 a2，
棱台MNC1—BA1B1的高为B1C1=2a，V1=〃2a〃（a2+a2?37617614a2+
a2）= a3，
6∴V2=2a〃2a〃a－
a3= a3.∴
V1V2=
717.
●思悟小结
1.直线与平面的位置关系有三种：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行，后者又统称为直线在平面外. 2.辅助线（面）是解证线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）. 教学点睛
1.必须使学生理解并掌握直线与平面的位置关系，以及直线与平面平行的判定定理及性质定理；结合本课时题目，使学生掌握解证线面平行的基本方法.
2.证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.
拓展题例
【例1】 在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB1⊥BC1，AB=CC1=a，BC=b.
A1CB1GEFC1AB
（1）设E、F分别为AB1、BC1的中点，求证：EF∥平面ABC； （2）求证：A1C1⊥AB；
（3）求点B1到平面ABC1的距离.
（1）证明：∵E、F分别为AB1、BC1的中点，
∴EF∥A1C1.∵A1C1∥AC，∴EF∥AC.∴EF∥平面ABC. （2）证明：∵AB=CC1，∴AB=BB1.又三棱柱为直三棱柱， ∴四边形ABB1A1为正方形.连结A1B，则A1B⊥AB1. 又∵AB1⊥BC1，∴AB1⊥平面A1BC1. ∴AB1⊥A1C1. 又A1C1⊥AA1，∴A1C1⊥平面A1ABB1. ∴A1C1⊥AB.
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（3）解：∵A1B1∥AB，∴A1B1∥平面ABC1.
∴A1到平面ABC1的距离等于B1到平面ABC1的距离. 过A1作A1G⊥AC1于点G， ∵AB⊥平面ACC1A1，
∴AB⊥A1G.从而A1G⊥平面ABC1，故A1G即为所求的距离，即A1G=
ab b2?a2.
评述：本题（3）也可用等体积变换法求解. 2、（07全国Ⅱ）如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、SC的中点。
(Ⅰ)求证：EF∥平面SAD；(Ⅱ)设SD = 2CD，求二面角A－EF－D的大小； 解法一：（1）作FG∥DC交SD于点G，则G为SD的中点．
∥连结AG，FG 12EF∥AG，又AG?平面SAD，EF?平面SAD．
∥AB，故FG ∥AE，AEFG为平行四边形． CD，又CD y F 所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设DC?2，
△ADG为等腰直角三角形． 则SD?4，DG?2，取AG中点H，连结DH，则DH⊥AG．
D G S A z A C B M E 第又AB⊥平面SAD，所以AB⊥DH，而AB?AG?A， 所以DH⊥面AEF．
取EF中点M，连结MH，则HM⊥EF． 连结DM，则DM⊥EF．
故?DMH为二面角A?EF?D的平面角
tan?DMH?DHHM?21?2．
所以二面角A?EF?D的大小为arctan2．
解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D?xyz． 设A(a， 0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，?a?E?a，，0?，F2???????b?ab?，0，，EF??a，0，???2?22????．取SD的中点G??????b?b??，则0，0，AG??a，0，????． 22????????????EF?AG，EF∥AG，AG?平面SAD，EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设A(1，1，0)，C(0，1，0)，S(0，0，2)，E?1，，0?，F?0，，1?． 0，0)，则B(1，?2??2??111EF中点M?，，?222??1??????????11?????????MD???，?，??，EF?(?1，0，，1)MD?EF?0，MD⊥EF ?，22???2?1??1?第 10 页 共 11 页
?????????????1?又EA??0，?，0?，EA?EF?0，EA⊥EF，
2???????????所以向量MD和EA的夹角等于二面角A?EF?D的平面角．
??????????????????MD?EA33．所以二面角A?EF?D的大小为arccos cos?MD，EA????????????33MD?EA第 11 页 共 11 页
?????????????1?又EA??0，?，0?，EA?EF?0，EA⊥EF，
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