16．（本小题满分14分）
证明: (1) 因为AD⊥平面SAB，SA?平面SAB，所以SA⊥AD， …………………2分 又SA=3，AB=4，SB=5，
所以SA?AB?SB，即SA⊥AB， …………………4分 又AB、AD ?平面ABCD，AB ?AD=A，所以SA⊥平面ABCD，
又AC ?平面ABCD， 所以SA⊥AC. …………………7分 （2）连结BD，设AC ?BD=O，连接OE，
因为四边形ABCD为平行四边形，所以BO=OD， ………………………9分 又 BE=ES，所以 SD∥OE， …………………11分 又SD ?平面ACE，OE ?平面ACE，
所以SD∥平面ACE. …………………14分 17．（本小题满分14分）
222??3????π3?解：（1）当??时，x??2,?，y???2k,?， …………………2分
34??2?????33因为x∥y，所以2???2k?，
421所以k??. …………………6分
2???2 （2）依题意，x??2,1?cos??，y???2k,sin??. ??? 因为x⊥y，
所以4k?sin令y?sin22??1?cos??，即k?sin2??1?cos??. ………………8分
?2.
14??1?cos??，即y??1?cos2???1?cos??，其中0???令cos??t??0,1?，则y??t3?t2?t?1，t??0,1?. 则y???3t?2t?1???t?1??3t?1?.
2令y??0，则t?1， …………………10分 3∴当t??0,?时，y??0，即y??t3?t2?t?1在?0,?上单调递增；
?1??3???1?3??1??1?32?y?0t?,1当，即y??t?t?t?1在?,1?上单调递减； ??时，
?3??3?
故当t?18132，即cos??时，ymax?，此时实数k取最大值．…………14分 327327
18．（本小题满分16分）
解：（1）由题意，知：OA=202，OC=513，∠AOC=?，sin??1． 26由于0????90?，所以cos?=1?(12526． …………………3分 )?2626由余弦定理，得AC=OA2?OC2?2OA?OC?cos??55． …………………5分 所以该自行车手的行驶速度为55． …………………6分 ?155（千米/小时）
13 （2）如图，设直线OE与AB相交B于点M．在△AOC中，由余弦定理，得：
OA2?AC2?OC2cos?OAC?2OC?AC
HEMO31020?2+5?5?5?13， ==102?202?55 从而sin?OAC?1?cos2?OAC=1?在△AOM中，由正弦定理，得：
222CA910． …………………9分 ?1010
由于OE=27.5＞40 = OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE-OM=7.5． 过点E作EH?AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离． 在Rt△EHM中，
10OAsin?OAM10=?20． …………………12分 OM??sin(45??OAM)231010（-）21010202?EH?EM?sin?EMH=EM?sin?EMH
=EM?sin(45???OAC)?7.5?535??3.5． 52所以该自行车手会进入降雨区． …………………16分
19．（本小题满分16分）
解：（1）设公差为d，公比为q，由已知得a1=b1?1,d=q，2d=q?3，
2解之得：d?q?3，an?3n?2．又因bn＞0，故bn?3n?1． …………………4分
（2）Sn?b1?1?qn?1?q1?3n3n?1， ??1?324?3n11?2（?）所以cn?n， …………………………8分 nn?1n?13?13?1?3?1??3?1?
11111111Tn?2(??????n?n?1)?2(?n?1)． ……………………10分
288263?13?123?1
an2?3n?2??（3）dn?，
bn?13n2(3n?1)2(3n?2)2?18n2?42n?11dn?1?dn??? …………………………12分 n?1nn?1333当n?1,2时，dn?dn?1，
当n?3，n?N时，dn?dn?1， ………………………………………………14分
又因为d1??11649100?49?,d2?,d3?,d4?，所以m的取值范围为?,???．……16分 392781?27?
20．（本小题满分16分）
解：（1）依题意得，f?x??x?lnx?1，x??0,???，
212x2?1∴ f??x??2x??．
xx令f??x??0，得x?22；令f??x??0，得0?x?．…………………………2分 22??2?2?则函数f?x?在?0,?2??上单调递减，在??2,????上单调递增． …………………4分
????（2）由题意知：g?x??x?2x?1?mlnx．
2m2x2?2x?m则g??x??2x?2??， …………………5分
xx
令g??x??0，得2x?2x?m?0，故方程2x?2x?m?0有两个不相等的正数根x1，
22???4?1?2m??0，1?，则?m 解得0?m?． x2（x1?x2）
2??0，?2 由方程得x2?11+1?2m，且?x2?1． …………………………7分
2222 由2x2?2x2?m?0，得m??2x2?2x2． 22 g?x2??x2?2x2?1??2x2?2x2lnx2，
??1?x2?1．……………8分 2 g??x2???4?x2???1??1?，即函数是lnx?0gx??2?,1?上的增函数， ?22??2? 所以
1?2ln2?1?2ln2??g?x2??0，故g?x2?的取值范围是?,0?．………10分 44??n（3）依题意得，f?x??x?lnx?1，x??0,???，
∴ f??x??nxn?11nxn?1??． xxn令f??x??0，得nx?1?0，∴ x0?n1，∵n…2， n∴函数f?x?在?0,x0?上单调递减，在?x0,???上单调递增， ……………11分 ∴f?x0??11111?lnn?1??lnn?1??1?lnn?n?． ……………12分 nnnnn1?1?0， x令p?x??lnx?x?1（x?2），则p??x??∴p?x??p?2??ln2?1?0，
∴lnn?n?1?0，即f?x0??0． …………………13分 ∵x0?n1?1?2，∴f?2??f?1??0， ……………14分 nn 又∵x0?111??， nnne
1?1??1??1?∴f???ln?1???????lnn?0， ……………15分
ne?ne??ne??ne? 根据零点存在性定理知函数f?x?在?0,x0?和?x0,???各有一个零点． ……16分
nn
无锡市2015年秋学期高三期中考试试卷
数 学
命题单位：江阴市教研室 制卷单位：无锡市教育科学研究院
注意事项及说明: 本卷考试时间为120分钟， 全卷满分为160分．
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．） ．
1．已知集合M?x0?x?2,N?xx?1，则M?N= ▲ ． 2．设
????3?i?a+bi（i为虚数单位，a，b∈R），则a+b= ▲ ． 1?i4x?a3．若函数y?的图象关于原点对称,则实数a等于 ▲ ． x24．已知角?的终边经过点P?10,m?,且tan???4,则m的值为 ▲ ． 55．某人抛掷质地均匀的骰子，其抛掷两次的数字之和为7的概率是 ▲ ．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的z的值是 ▲ ．
开始 x←1, y←2 z← xy z<20 是 x← y 否 输出z y← z 结束
?2?x,x??1,7．已知函数f(x)?? 则满足f(a)?4的实数a的取值范围是 ▲ ．
?3x?3,x??1,
????????????CDAE1??，若DE??CA??CB，则???? ▲ ． 8．如图，在△ABC中，
DAEB2A
E
B DC?x?2y?4,?9.设x,y满足约束条件?x?y?1,则目标函数z?2x?y的最大值为 ▲ ．
?x?2…0,?
10．已知数列?an?是公差为2的等差数列，若a6是a7和a8的等比中项，则S6=___ ▲ ___. 11．若函数f(x)?lnx?a (a?R)满足f(3?x)?f(3?x)，且f(x)在???,m?单调递减，则实数m的最大值等于 ▲ ． 12．若??????,??，且3cos2??sin(???)，则sin2?的值为 ▲ ．
4?2?13．定义在R上的函数f(x)满足f(x)=?x?0,?log2(3?x), 则f (11)= ▲ ．
f(x?1)?f(x?2),x?0,?x14．已知函数f(x)?2x2ex与g(x)?3xe?a的图象有且只有两个交点，则实数f(x)的取值范围是 ▲ ．
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分）
已知函数f?x??2sin??x???（??0，0???两条对称轴间的距离为
?2）的图象经过点0,3，且相邻
???． 2（1）求函数f(x)的单调增区间； （2）若将f(x)的图象向左平移上的最大值和最小值． 16．（本小题满分14分）
????个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间?0,?4?2?如图，在五面体SABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AD⊥平面SAB. （1）若SA=3，AB=4，SB=5，求证：SA⊥AC；
D（2）若点E是SB的中点，求证：SD∥平面ACE.
17．（本小题满分14分）
CASEB?????在平面直角坐标系xOy中，已知向量a?(2，0)，b?(0，1).设向量x?a??1?cos??b，
?????2y??ka?sin??b，其中0???.
2???π （1）若x∥y，且??，求实数k的值；
3???（2）若x⊥y，求实数k的最大值，并求取最大值时cos?的值.
18．（本小题满分16分）
如图，某自行车手从O点出发，沿折线O–A–B–O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45?且与点O相距202千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位
（45??）于点O南偏东（其中sin???1?? ，0???90）且与点O相距513千米（假26设所有路面及观测点都在同一水平面上）．
（1）求该自行车手的骑行速度；
（2）若点O正西方向27.5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3.5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．
北
B 东
O E
C
A
19．（本小题满分16分）
已知数列?an?、?bn?是正项数列，?an?为等差数列，?bn?为等比数列，?bn?的前n项和为
Sn?n?N??，且a1=b1?1,a2=b2+1，a3=b3—2．
（1）求数列?an?,?bn?的通项公式； （2）令cn?bn?1，求数列?cn?的前n项和Sn；
Sn?Sn?1an2（3）设dn?，若dn?m恒成立，求实数m的取值范围．
bn?1
20．（本小题满分16分）
设函数f?x??x?mlnx?1，其中n?N，n≥2，且m?R．
n?（1）当n?2，m??1时，求函数f?x?的单调区间；
（2）当n?2时，令g?x??f?x??2x?2，若函数g?x?有两个极值点x1，x2，且x1?x2，求g?x2?的取值范围；
（3）当m??1时，试求函数f?x?的零点个数，并证明你的结论．
无锡市2015年秋学期高三期中考试试卷
数学参考答案
一．填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．） ．
1．x1?x?2 2．1 3． ?1 4．?8 5． 6．32 7． ??2，? 8．
??16??1?3?2 9．3 10．－38 3??3?1711．3 12．? 13． 2 14． ??e,0???9e2?
18??
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 15．（本小题满分14分） 解：(1) ∵ f?x?的图象过点0,3，∴ sin?? 又0?????3， 2?2，∴ ???3， …………………3分
又∵ 相邻两条对称轴间的距离为
?，∴周期为?， 2 …………………5分
即
2??????， ??2，∴f?x??2sin?2x??． ?3????2k?剟2x?令??3?225??k?剟x则?12?2k?，其中k?Z，
?12?k?， 其中k?Z，
∴函数f?x?的单调增区间是????5???k?,?k??，k?Z．………………7分
12?12????????2sin2x??????， ?4?4?3???
(2)由已知，得：g?x??f?x?????即g?x??2sin?2x????2????=2cos(2x?)． …………………9分 3?3???4????,?， …………………11分 3?33??????故当2x???即x?时，g?x?min?g????2；
33?3?a?b?c?3，∴2x?当2x???3??3即x?0时，g?x?max?g??????1． …………………14分 3??