《大学物理习题集》（下册） 习题参考解答 共75页
为： 【 C 】
(A) 9/8 (B) 16/9 (C) 27/20 (D) 20/27 3. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长?与速度v有如下关系： 【 C 】
11?;(D)??c2?v2 22vc4. 若?粒子(电量为2e)在磁感应强度为B均匀磁场中沿半径为R的圆形轨道运动，则?粒子的德布罗意波长是： 【 A 】
hh11 (A);(B);(C);(D)2eRBeRB2eRBheRBh5. 如图所示，一束动量为P的电子，通过缝宽为a的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大宽选择题(5)度d等于： 【 D 】
(A)??v;(C)??1(B)??;v2a2(A);R2ha(C);RP(B)2ha;P 2Rh(D)ap 二、 填空题
1. 当一质子俘获一个动能Ek?13.6eV的自由电子，组成一基态氢原子时，所发出的单色光频率是
6.568?1015Hz。
2. 能量为15eV的光子从处于基态的氢原子中打出一光电子，则该电子离原子核时的运动速度为
7.02?105m/s。
3. 一质量为40?10kg的子弹，以1000 m/s的速度飞行，它的德布罗意波长为1.6?10以子弹不显示波动性。
4. 一束带电粒子经206V电势差加速后，其德布罗意波长为0.002nm，已知此带电粒子的电量与电子电量值相等，则此粒子的质量为1.6?10?27?3?35m。所
kg。
三、 计算题
1. 氢原子光谱的巴耳末线系中，有一光谱线的波长为
??434nm，试求：
(1) 与这一谱线相应的光子能量为多少电子伏特； (2) 该谱线是氢原子由能级En跃迁到能级Ek产生
的，n和k各为多少?
(3) 最高能级为E5的大量氢原子，最多可以发射几个
谱线系、共几条谱线。请在氢原子能级图中表示出来，并说明波长最短的是哪一条谱线。
? 与波长为??434nm对应的光子的能量：
计算题(1) Created by XCH Page 46 12/13/2013
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h??hc??2.86eV
11111，?)?R(?) H22222n?2n?1~?R(巴耳末光谱线系： ?H7将RH?1.0973731?10m，??434nm
代入得到：n?5，即该谱线是氢原子由能级E5跃迁到能级E2产生的。
~?T(k)?T(n)，n?k 根据里德伯—里兹并合原则：?能级为E5的大量氢原子，最多可以发射4个谱线系，即k?1,2,3,4，共10条谱线（如图所示）
波长最短的一条谱线（赖曼系）：
1?min?RH(11?) 2215?min?94.96nm
2. 当氢原子从某初始状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为?E=10.19 eV的状态时，发射出光子的波长是??486nm。该初始状态的能量和主量子数。
? 设激发能为?E?10.19eV的能级为Ek，?E?Ek?E1?10.19eV
E1??13.6eV，Ek??3.41eV
设初始状态的能级为En，根据题意En?Ek?hc?，En?hc??Ek
8?34将Ek??3.41eV，??486nm，h?6.6260755?10J?s和c?3?10m/s代入得到：
En??0.85eV
由En?E1E112n?n?，可知，，n?4 E12EEnnn氢原子初始状态的能量：En??0.85eV，主量子数n?4
3. 假设一个波长为300 nm的光子被一个处于第一激发态的氢原子所吸收，求发射电子的动能。
? 处于第一激发态的氢原子的电离能： ?E?E??E2??E2，E2?将E1??13.6eV代入得到：E2??3.4eV 波长为??300nm的光子能量：h??4.13eV
1E1 22处于第一激发态的氢原子吸收光子电离后，发射电子的动能Ek： h???E?Ek
Ek?h???E?h??E2，Ek?h???E?4.13eV?(?3.4eV)，Ek?0.73eV
4. 静止的氢原子从激发态k=5跃迁到基态 n=1时，氢原子的反冲速度是多少？
? 根据能量守恒：E5?E1?h??EHk，E5?E1?h??mv2（不考虑相对论效应）
由动量守恒定律：mv?12h?，mv?2(E5?E1)h??1)c ，v?(1?2mcc Created by XCH Page 47 12/13/2013
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由于
2(E5?E1)(E5?E1)12(E5?E1)?4（约），所以：， ~10??1v?[(1?)?1]cv?mc22mc2mc-27将E5?E1?13.06eV, m?1.67?10kg代入得到：v?4.2m/s
5. 质量为me的电子被电势差U12?100KV的电场加速，如果考虑相对论效应，试计算其德布罗意波的波长。若不用相对论计算，则相对误差是多少? (电子静止质量me?9.11?10?31kg,普朗克常h?6.63?10?34J?s基本电荷e?1.60?10?19C)
? 考虑相对论效应，电子的德布罗意波满足：p?2224h?
22由能量守恒得到： mc?m0c?eU12，mc?(eU12?m0c) 又由：mc?pc?m0c，pc?m0c?(eU12?m0c)
242224222422p2c2?(eU12)2?2m0c2(eU12)，p?(电子的德布罗意波：??eU122)?2m0(eU12) ch，??ph(eU122)?2m0(eU12)c
hp2h不考虑相对论效应，电子的德布罗意波：?'?，E?，E?eU12，?'?
2mp2m0(eU12)????'???h?2m0(eU12)h(eU122)?2m0(eU12)c
????(eU122)?2m0(eU12)c2m0(eU12)?1，
?31eU12????1?1 2?2m0c将U12?100KV，me?9.11?106.
kg, e?1.60?10?19C代入得到：
???0.0477 ??粒子在磁感应强度为B?0.025T的均匀磁场中沿半径为R=0.83 cm的圆形轨道运动。
(1) 试计算其德布罗意波长；
(2) 若使质量m=0.1 g的小球以与?粒子相同的速率运动。则其波长为多少?
(m??6.64?10?27kg,h?6.63?10?34J?s,e?1.6?10?19C)
2eBRv2? 对于在磁场作圆周运动的?粒子：m??(2e)Bv，v?
m?R?粒子的德布罗意波长：??质量m=0.1 g，速率为v?hh?12，??，??9.98?10m m?v2eBR2eBRhm?的小球，其德布罗意波长：?'? m?2eBRm?'?6.63?10?34m
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单元十二 (一) 测不准关系 波函数 薛定谔方程 四个量子数
一、选择题
1. 关于不确定关系?x?px??(??h)有以下几种理解。 2?(1) 粒子的动量不可能确定； (2) 粒子的坐标不可能确定；
(3) 粒子的动量和坐标不可能同时确定；
(4) 不确定关系不仅用于电子和光子，也适用于其它粒子。
其中正确的是： 【 C 】
(A) (1)、(2) (B) (2)、(4) (C) (3)、(4) (D) (4)、(1)
2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D倍，则粒子在空间的分布几率将： 【 D 】
(A) 最大D2； (B) 增大2D； (C) 最大D； (D) 不变
3. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：?(x)?13?x?cos(?a?x?a)
2aa那么粒子在x=5a/6处出现的几率密度为： 【 A 】
(A)12a(B)1a(C)12a(D)1 a4. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是： 【 D 】
(A) 康普顿实验； (B) 卢瑟福实验； (C) 戴维逊-革末实验；(D) 斯特恩-盖拉赫实验。 5. 下列各组量子数中，哪一组可以描述原子中电子的状态？ 【 B 】
(A) n=2，L=2，ml=0，ms=1/2； (B) n=3，L=1，ml=-1，ms=-1/2；
(C) n=1，L=2，ml=1，ms=1/2； (D) n=1，L=0，ml=1，ms=-1/2
二、填空题
1. 根据量子论，氢原子核外电子的状态，可由四个量子数来确定，其中主量数n可取值为1,2,3,4,5?正整数，它可决定原子中电子的能量。
2. 原子中电子的主量数n=2，它可能具有状态数最多为8个。
3. 钴(Z=27)有两个电子在4s态，没有其它n>4的电子，则在3d态的电子可有7个。
4. 如果电子被限制在边界x与x??x之间，?x?0.05nm，则电子动量x分量的不确定量近似地为?px?1.3?10?23N?s (不确定关系式?x??Px?h,普朗克常量h?6.63?10?34J?s)。
5. 德布罗意波的波函数与经典波的波函数的本质区别是德布罗意波是粒子在空间分布的几率波，机械波是机械振动在介质中引起机械波，是振动位相的传播。
6. 泡利不相容原理的内容是一个原子中不能有两个电子具有完全相同的量子态
三、计算题
1. 同时测量能量为1KeV的作一维运动的电子位置与动量时，若位置的不确定值在0.1nm内，则动量的不确定值的百分比?p/p至少为何值?
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(电子质量me?9.11?10?31kg,1eV?1.60?10?19J，普朗克常量h?6.63?10?34J?s)
? 根据测不准关系?x??p???h，?p? ?22?x4??x?ph?p12?，?0.031 E?p， p?2mE，
p4??x2mEp2m62. 一电子的速率为3?10m/s，如果测定速度的不准确度为1%，同时测定位置的不准确量是多少?如果这是原子中的电子可以认为它作轨道运动吗?
? 根据测不准关系?x??p??，p?mv，?p?m?v 2???94，?x?，?v?0.01v?3?10m/s，?x?1.9?10m ?x??v?2m?v2m?x~r1?0.529?10?10m, 所以原子中的电子不能看作是做轨道运动。
3. 测定核的某一确定状态的能量时，不准确量为1eV，试问这个状态的最短寿命是多长？
? ?E?1eV
???16，?t?，?t?3.3?10s 22?E4. 电子被限制在一维相距?x的两个不可穿透壁之间，?x?0.05nm，试求
(1) 电子最低能态的能量是多少？
(2) 如果E1是电子最低能态的能量，则电子较高一级能态的能量是多少？ (3) 如果?x?0.05nm时E1是电子最低能态的能量，则?x?0.1nm时电子最低能态的
根据测不准原理：?E?t?能量是多少？
? 电子沿X轴作一维运动：
V(x)?0V(x)??20?x??x0?x,x??x
电子的定态薛定谔方程：??(x)?2m(E?U)?(x)?0 2??(x)?0
20?xx??x
2m??(x)?2E?(x)?00?x??x??2?(x)2m?2?(x)2mE22?E?(x)?0?k?(x)?0，， k??x2?2?x2?2方程的通解形式：?(x)?Asinkx?Bcoskx
根据波函数的连续性：?(0)??(?x)?0，得到：B?0
?(x)?Asinkx，其中k?2n?，n?1,2,3,4,5?，k?0 ?xh2电子的能量：E?n，n?1,2,3,4,5?
8m?x2n?量子数为n的定态波函数：?n(x)?Ansinx
?x Created by XCH Page 50 12/13/2013