第 九 章 压 杆 稳 定
一、选择题
1、一理想均匀直杆受轴向压力P=PQ时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。
A、弯曲变形消失，恢复直线形状； B、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C、微弯状态不变； D、弯曲变形继续增大。
2、一细长压杆当轴向力P=PQ时发生失稳而处于微弯平衡状态，此时若解除压力P，则压杆的微弯变形（ C ）
A、完全消失 B、有所缓和 C、保持不变 D、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。
A、长度 B、横截面尺寸 C、临界应力 D、柔度 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（ A ）对临界应力的影响。
A、长度，约束条件，截面尺寸和形状； B、材料，长度和约束条件；
C、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 试判断哪一根最容易失稳。答案：（ a ）
6、两端铰支的圆截面压杆，长1m，直径50mm。其柔度为 ( C )
A.60； B.66.7； C.80； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下，压杆采用图（ D ）所示截面形状，其稳定性最好。
8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。
A、弹性模量E越大或柔度λ越小； B、弹性模量E越大或柔度λ越大； C、弹性模量E越小或柔度λ越大； D、弹性模量E越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ）
A、λ≤ ?C、λ≥ ?EE B、λ≤?
?s?PE?P D、λ≥?E?s - 1 -
10、在材料相同的条件下，随着柔度的增大（ C ）
A、细长杆的临界应力是减小的，中长杆不是； B、中长杆的临界应力是减小的，细长杆不是； C、细长杆和中长杆的临界应力均是减小的； D、细长杆和中长杆的临界应力均不是减小的； 11、两根材料和柔度都相同的压杆（ A ）
A. 临界应力一定相等，临界压力不一定相等； B. 临界应力不一定相等，临界压力一定相等； C. 临界应力和临界压力一定相等； D. 临界应力和临界压力不一定相等；
12、在下列有关压杆临界应力σe的结论中，（ D ）是正确的。
A、细长杆的σe值与杆的材料无关；B、中长杆的σe值与杆的柔度无关； C、中长杆的σe值与杆的材料无关；D、粗短杆的σe值与杆的柔度无关； 13、细长杆承受轴向压力P的作用，其临界压力与（ C ）无关。
A、杆的材质 B、杆的长度
C、杆承受压力的大小 D、杆的横截面形状和尺寸
二、计算题
1、 有一长l=300 mm，截面宽b=6 mm、高h=10 mm的压杆。两端铰接，压杆材料为Q235钢，E=200 GPa，试计算压杆的临界应力和临界力。 解：（1）求惯性半径i
对于矩形截面，如果失稳必在刚度较小的平面内产生，故应求最小惯性半径
imin?Imin?Ahb31??12bhb12?612?1.732 mm
（2）求柔度λ
λ=μl/i，μ=1，
故 λ=1×300/1.732=519>λp=100 （3）用欧拉公式计算临界应力
?cr?（4）计算临界力
π2E?2?π220?104?173.2?2?65.8 MPa
Fcr=σcr×A=65.8×6×10=3948 N=3.95 kN
2、一根两端铰支钢杆，所受最大压力P?47.8KN。其直径d?45mm，长度l?703mm。
钢材的E=210GPa，?p=280MPa，?2?43.2。计算临界压力的公式有：(a) 欧拉公式；(b) 直线公式?cr=461-2.568?(MPa)。 试 （1）判断此压杆的类型；
（2）求此杆的临界压力；
- 2 -
?2E?l?l?86 ??解：（1） ??1 ?1???62.5
d?Pi4由于?2????1，是中柔度杆。 （2）?cr =461-2.568??MPa Pcr??crA?478KN
3、活塞杆（可看成是一端固定、一端自由），用硅钢制成，其直径d=40mm，外伸部分的最大长度l=1m，弹性模量E=210Gpa，?1?100。
试（1）判断此压杆的类型；（2）确定活塞杆的临界载荷。
解：看成是一端固定、一端自由。此时??2
，而
，所以，
。
故属于大柔度杆-
用大柔度杆临界应力公式计算。
4、托架如图所示，在横杆端点D处受到P=30kN的力作用。已知斜撑杆AB两端柱形约束（柱形较销钉垂直于托架平面），为空心圆截面，外径D=50mm、内径d=36mm，材料为A3钢，E=210GPa、?p=200MPa、?s=235MPa、a=304MPa、b=1.12MPa。若稳定安全系数nw=2，试校杆AB的稳定性。
1.5m0.5mPDC30oBA第七题图
解 应用平衡条件可有
- 3 -
2P2?40?103?N?107kN ?MA?0，NBD?1.5?0.51.5sin30?A?32.837cm2，Iy?144cm4，iy?2.04cm，Ix?1910cm4
ix?7.64cm
A3钢的
?P?99.4，?S?57.1
压杆BA的柔度
1.5??lcos30?x???22.7??S
ix0.07641??y??liy1??1.5cos30??82.9??
P0.0209因?x、?y均小于?P，所以应当用经验公式计算临界载荷
Pcr?A?cr?A(a?b?y)?0.00329??304?1.12?82.9??106N
?695kN
??压杆的工作安全系数
n?695?6.5?nst?5 107BA压杆的工作安全系数小于规定的稳定安全系数，故可以安全工作。
5、 如图所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知Fp=25kN，l1=1.25m，l2=0.55m，?s=235MPa。强度安全因数ns=1.45，稳定安全因数[n]st=1.8。试校
核此结构是否安全。
解：在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD，承受压缩荷载，属稳定问题。现分别校核如下。
(1) 大梁AB的强度校核。大梁AB在截面C处的弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为
Mmax?(Fpsin30°)l1?(25?103?0.5)?1.25 ?15.63?103(N?m)?15.63(kN?m)
FN?Fpcos30°?25?103?cos30°
?21.65?103(N)?21.65(kN)
由型钢表查得14号普通热轧工字钢的
Wz?102cm3?102?103mm3A?21.5cm?21.5?10mm222
- 4 -
由此得到
?maxMmaxFN15.63?10321.65?103???? WzA102?103?10?921.5?102?10?4 ?163.2?106(Pa)?163.2(MPa) Q235钢的许用应力为 [?]??sns?235?162(MPa) 1.45?max略大于[?]，但(?max?[?])?100%[?]?0.7%?5%，工程上仍认为是安全的。 (2) 校核压杆CD的稳定性。由平衡方程求得压杆CD的轴向压力为
FNCD?2Fpsin30°?Fp?25(kN) 因为是圆截面杆，故惯性半径为 Id??5(mm) A4又因为两端为球铰约束??1.0，所以
i?1.0?0.55?110??p?101
i5?10?3这表明，压杆CD为细长杆，故需采用式(9-7)计算其临界应力，有 ???l? FPcr?d2?2?206?109??(20?10?3)2 ??crA?2????411024?2E ?52.8?103(N)?52.8(kN)
于是，压杆的工作安全因数为
?F52.8?2.11?[n]st?1.8 nw?cr?Pcr??wFNCD25这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。
上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。
6、一强度等级为TC13的圆松木，长6m，中径为300mm，其强度许用应力为10MPa。现将圆木用来当作起重机用的扒杆，试计算圆木所能承受的许可压力值。
解：在图示平面内，若扒杆在轴向压力的作用下失稳，则杆的轴线将弯成半个正弦波，长度系数可取为??1。于是，其柔度为
- 5 -
???li?1?6?80 1?0.34根据??80，求得木压杆的稳定因数为
11 ????0.398 22?80????1???1????65??65?从而可得圆木所能承受的许可压力为
? [F]??[?]A?0.398?(10?106)??(0.3)2?281.3(kN)
4如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向并无任何约束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为下端固定而上端自由，即??2。于是有
???li?2?6?160 1?0.34求得
??2800?2?2800?0.109 2160? [F]??[?]A?0.109?(10?106)??(0.3)2?77(kN)
4显然，圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可压力应为77 kN，而不是281.3 kN。
7、 如图所示，一端固定另一端自由的细长压杆，其杆长l = 2m，截面形状为矩形，b = 20 mm、h = 45 mm，材料的弹性模量E = 200GPa 。试计算该压杆的临界力。若把截面改为b = h =30 mm，而保持长度不变，则该压杆的临界力又为多大？ 解：（一）、当b=20mm、h=45mm时 （1）计算压杆的柔度
???li?2?2000?692.8＞?c?123(所以是大柔度杆，可应用
2012欧拉公式)
(2)计算截面的惯性矩
由前述可知，该压杆必在xy平面内失稳，故计算惯性矩
hb345?203??3.0?104mm4 Iy?1212（3）计算临界力
?2EI?2?200?109?3?10?8μ = 2，因此临界力为 Fcr???3701N?3.70kN 22??l??2?2?
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（二）、当截面改为b = h = 30mm时 （1）计算压杆的柔度
???li?2?2000?461.9＞?c?123(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
3012(2)计算截面的惯性矩
bh3304Iy?Iz???6.75?104mm4
1212代入欧拉公式，可得
?2EI?2?200?109?6.75?10?8Fcr???8330N 22??l??2?2?从以上两种情况分析，其横截面面积相等，支承条件也相同，但是，计算得到的临界力后
者大于前者。可见在材料用量相同的条件下，选择恰当的截面形式可以提高细长压杆的临界力。
8、 图所示为两端铰支的圆形截面受压杆，用Q235钢制成，材料的弹性模量E=200Gpa，屈服点应力σs=240MPa，直径d=40mm，?c?123，试分别计算下面二种情况下压杆的临界力： （1）杆长l=1.5m；（2）杆长l=0.5m。 解：（1）计算杆长l=1.2m时的临界力 两端铰支因此 μ=1
?d4惯性半径 i?I?A64?d?40?10mm ?d2444柔度：???li?1?1500?150＞?c?123 10(所以是大柔度杆，可应用欧拉公式)
?2E3.142?2?105?cr?2??87.64MPa?15023.14?402Fcr??crA??cr??87.64??110.08?103N?110KN
44（2）计算杆长l=0.5m时的临界力
μ=1，i=10mm 柔度：??
?d2?li?1?500?50＜?c?123 10- 7 -
压杆为中粗杆，其临界力为
?cr?240?0.00682?2?240?0.00682?502?222.95MPa
3.14?402?222.95??280.02?103N?280kN Fcr??crA??cr?44
?d2感谢土木0906班王锦涛、刘元章同学！
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