北航10秋学期《线性代数》模拟题一
本复习题页码标注所用教材为：
工程数学（线性代数）
魏战线
2000年10月第2版
辽宁大学出版社
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一、 单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1、 设A为2008阶可逆方阵，则
?A?*?1? （ ）
A.
1A*
det?A? B.
1A
det?A?
C.
1?1?1detAA D. A??*det?A?参考答案：B
?10x111?1?12、已知x的一次多项式D?，则式中一次项的系数为（ ）
1?11?11?1?11（A）4 （B）?4 （C）1 （D）?1 参考答案：B
3、 设a为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0存在非零解的充分必要条件是（ ）
A．A的行向量组线性无关 B．A的行向量组线性相关 C．A的列向量组线性无关 D．A的列向量组线性相关 参考答案：C
4、设列向量组?1,?2,?3，则与三阶行列式|?1,?2,?3|等值的行列式是（ ） （A）|?1,?1??3,?1??2??3| （B）|?2??3,?3,?1?3?3|
（C）|?3,?2,?1| （D）|?1??2,?2参考答案：C
??3,?3??1|
?110???5、 设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的-1倍加到第2列得C，记P??010?，
?001???则（ ）
A．C?PAP. C．C?PAP.
T?1?1B．C?PAP. D．C?PAP.
T
参考答案：B
二、 判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 6、
A．对
B．错
参考答案：A
7、 两个对称矩阵一定合同。（ ）
A．对
B．错
参考答案：B
8、
A．对
B．错
参考答案：A
9、 相似矩阵有相同的特征多项式。（ ）
A．对
B．错
参考答案：A
10、
A．对
B．错
参考答案：B
三、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1211、设四阶行列式
342341341241，Aij是其?i,j?元的代数余子式，则A31?A33?_______， 23。 A32?A34?_______考核知识点：行列式的概念及计算 ，参见 P35 参考答案：68, -48
12、 设实二次型
f?x1,x2,x3,x4?的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 。
考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 P204
2222参考答案：z1 ?z2?z3?z4
?ax1? 13、线性方程组?x1?3x?1?x2?2x3?3x3?ax3?0?0有非零解的充要条件是a满足_____________. ?0?ax2?4x2考核知识点：齐次方程组解的结构 ，参见 P128
3参考答案：a?5a?17?0
?200???14、 若矩阵A?022正定，则????02????的取值范围是 。
考核知识点：正定二次型与正定矩阵 ，参见 P205 参考答案：??2
?2???2*315、设矩阵A与B??. ?相似，则A?E?___________, |A?E|?_________??3???考核知识点：相似矩阵 ，参见 P159 参考答案：192, 280
f?x1,x2,x3??x12?x22?2x32?2x1x2的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则p?q等于 。
16、设二次型
考核知识点：惯性定理与二次型的规范形 ，参见 P204 参考答案：0
17、将二次型
2222222化为f?y1?y2?y3?y4的可逆线性变换为___________. f?4x12?6x2?x3?9x4考核知识点：化二次型为标准型 ，参见 P194
?y1??2????y2??0参考答案：????y0?3???y??0?4??060000??x1????00??x2? ???03x3?????10???x4???与?18、 设向量?、?的长度依次为2和3，则向量???的内积(???,???)= 。
考核知识点： 向量及其运算 ，参见 P79 参考答案：-5
19、已知3阶矩阵
A的特征值为1,2,3，则A3?5A2?7E的特征值为___________，A*?3A?2E的特征值为
___________.
考核知识点：矩阵的特征值 ，参见 P149 参考答案：3，－5，－11； 3，7，13
20、二次型
f?2x1x2?2x3x4的规范型为 。
考核知识点：二次型的规范形 ，参见 P204 参考答案：f?2y221?2y22?2y23?2y4
四、计算题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
21、计算行列式
考核知识点：行列式的定义及计算 ，参见 P34 参考答案：
解：22、?2??0阶方阵A的三个特征值为???????1?1,?2?0,?3??1，A的属于?1,?2,?3的特征向量依次为?1??0?，2??0??1???，
??2???0?????2?3?，求方阵A。
??5??考核知识点： 矩阵的特征值与特征向量 ，参见 P149 参考答案：
设3
??124??4???23、设矩阵A??2x2?与????42?1?????P?1AP??.
考核知识点： 相似矩阵的概念及运算 ，参见 P159 参考答案：
解：由A与?相似知tr(A)?tr(?)，即x?2?y?1；又??4也是A的特征值，故A?4E?0，即
??y?相似，求x,y，并求一个正交矩阵P，使得
?5???52424x?42?0，计算得x??4，从而y??5. 2?5当?1?4时，解方程(A?4E)x?0有，
?2???4??1?41??10?1???52?2??3?????????1A?4E??2?82???0?189???02?1?，从而有解?1??1?，单位化得p1???；
?3??4??0189??000??2?2?5?2????????????3?当?2??5时，解方程(A?5E)x?0有
?424??212??1??1?????????A?5E??212???000?，从而有两个正交解?2??0?,?3???4?，单位化得
?424??000???1??1?????????