2017中考第22题类比探索题专题（一）
例1.（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE
填空：（1）∠AEB的度数为 ；（2）线段BE之间的数量关系是 。
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE。请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。
（3）解决问题
如图3，在正方形ABCD中，CD=2。若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。
例2.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，
∠B=∠E=30°. （1）操作发现
如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空： ①线段DE与AC的位置关系是_________；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_________________. （2）猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC
中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.
（3）拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，DE//AB交BC于点E（如图4）.
若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDE，请直接写出相应的BF的长. ．．．．
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B A B(E)
B E A N M C B E E 图4
图3
C D D D A(D)
图1
C
A 图2
C
专题训练
1.等腰△PAB中, ∠PAB=900,点C是AB上一点(与A、B不重合),连接PC,将线段PC绕点C顺时针旋转900,得到线段DC,连接PD、BD.探究∠PBD的度数,以及线段AB及BD、BC的数量关系. (不需要证明)
⑵类比探索：点C在直线AB上,且在点B右侧,还能得出与⑴相同的结论吗?请写出你得出的结论并证明; ⑶拓展迁移: 点C在直线AB上,且在点A左侧,请补充完成图形,并直接写出得到的结论.
2.如图①,正方形AEFG的边长为1,正方形ABCD的边长为3,且点F在AD上. ⑴求△DBF的面积;
⑵把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450,得到图②,求图②中的△DBF的面积;
⑶把正方形AEFG绕点A旋转一周,在旋转过程中, △DBF存在最大值与最小值,请直接写出最大值 ,最小值
⑴尝试探究：如图点C在线段AB上,可通过证明△PAC∽△PBD,得出结论：∠PBD= ；AB=
2
3.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，
连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】（3）在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
4.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ；
（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．
5.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF； （2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长； （3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
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6.有一副直角三角板，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．
．将这副
直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC= 度； （2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；
（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．
7.已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G． （1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求证
DEAD； ?CFCDDEAD成?CFCD（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得立？并证明你的结论；
（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，请直接写出
AFGEB第24题图①DE的值． CFDEAFGDDAFGBECB第24题图②C第24题图③C8.如图，矩形ABCD中，∠ACB =30，将一块直角三角板的直角顶点P放在两对角线AC,BD的交点处，以点P为旋转中心转动三角板，三角板的两直角边分别于边AB,BC所在的直线交于E,F. (1)当PE⊥AB,PF⊥BC时，如图1，则
oPE的值为 . PFoo(2)现将三角板绕点P逆时针旋转?（0???60）角，如图2，求
ooPE的值； PFPE的值是否变化？证明PFAPD(3)在（2）的基础上继续旋转，当60???90，且使AP:PC=1：2时，如图3，你的结论.
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B图1AEDPECAPDFB图2（第25题图）FCBCE图3F
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④．小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm．
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如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AE＝DG，求证：2S四边形EFGH＝S矩形（SABCD．
表示面积）
实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH≠BF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的平行线，四条平行线分别相交于点A1、B1、C1、D1，得到矩形A1B1C1D1．
如图2，当AH＞BF时，若将点G向点C靠近（DG＞AE），经过探索，发现：2S四边形EFGH＝S矩形ABCD＋S矩形A1B1C1D1． 如图3，当AH＞BF时，若将点G向点D靠近（DG＜AE），请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形A1B1C1D1之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：
请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：
（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AH＞BF，AE＞DG，S四
边形EFGH
＝11，HF＝29，求EG的长．
（2）如图5，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝5，点E、H分别在边AB、AD上，BE＝1，DH＝2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且FG＝10，连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值．
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如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC＝3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′． (1)当B′C′恰好经过点D时(如图1)，求线段CE的长；
(2)若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°(如图2)，求△DFG的面积； (3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．
如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O． (1)若AP=1，则AE= ；
(2)①求证：点O一定在△APE的外接圆上；
②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；
(3)在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．
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如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 ． 【探究】
图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=sin75°=6?2，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出46?26?2，请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程． 44【应用】
在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5） （1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；
（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．
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