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由Sm?a1?a2?a3???am?1?am, ……………… ① 得Sm?am?1?am?2?am?3???a1?am, ………………② 由①＋②, 得2Sm?(m?1)?∴Sm?11212?2am?m?12?2?16?m2?16,
(3m?1).………………(8分) 13,bn?1?bn?bn?bn(bn?1), ………………③
2(3) ∵b1?∴对任意的n?N?, bn?0. ………………④ 由③、④, 得
1bn?11b2?1bn(bn?1)1b2?1b3?1bn?1bn?11bn?,即
1bn?11b1??1bn1bn?1?1bn?1.
∴Tn?((10分)
1b1?)?()???(1bn?1)??3?1bn?1.……………
∵bn?1?bn?b2?0, ?bn?1?bn,∴数列{bn}是单调递增数列. n∴Tn关于n递增. 当n?2, 且n?N?时, Tn?T2. ∵b1?13,b2?1144452(?1)?, b3?(?1)?, 3399981∴Tn?T2?3?755211b1?7552.………………(12分)
755223839439∴Sm?分)
,即
12(3m?1)?,∴m??6, ∴m的最大值为6. ……………(14
5．（12分）E、F是椭圆x?2y?4的左、右焦点，是椭圆的右准线，点P?l，过点E的直线交椭圆于A、B两点.
（1） 当AE?AF时，求?AEF的面积； （2） 当AB?3时，求AF?BF的大小； （3） 求?EPF的最大值.
My22AP?m?n?41?S?mn?2 解：（1）?2?AEF22?m?n?8BEOFx分享 互助 传播
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（2）因???AE?AF?4??BE?BF?4?AB?AF?BF?8，
则AF?BF?5.
（1） 设P(22,t)(t?0) tan?EPF?tan(?EPM??FPM)
32t2t32?t2?(?)?(1?2)?22tt?62?22t?6t?1?33，
当t?6时，tan?EPF?33??EPF?30
2?6．（14分）已知数列?an?中，a1?13，当n?2时，其前n项和Sn满足an?2Sn2Sn?1，
（2） 求Sn的表达式及limanSn2的值；
n??（3） 求数列?an?的通项公式； （4） 设bn?1(2n?1)3?1(2n?1)3，求证：当n?N且n?2时，an?bn.
解：（1）an?Sn?Sn?1?2Sn22Sn?1?Sn?1?Sn?2SnSn?1?1Sn?1Sn?1?2(n?2)
?1?1所以??是等差数列.则Sn?.
2n?1S?n?limanS2nn???lim22Sn?1n???22limSn?1n????2.
12n?112n?1?24n?12（2）当n?2时，an?Sn?Sn?1?1??n?1???3综上，an??.
2??n?2?2??1?4n??，
（3）令a?12n?1,b?12n?1，当n?2时，有0?b?a?13 （1）
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法1：等价于求证
12n?1?1?2n?1??13323?12n?1?1.
3?2n?1?3当n?2时，0?12n?1,令f?x??x?x,0?x?21332,
2f??x??2x?3x?2x(1?x)?2x(1?32?13)?2x(1?)?0，
则f?x?在(0,13]递增.
又0?12n?113?12n?1?13，
所以g(2n?1)?g(132n?1),即an?bn.
法（2）an?bn?12n?1?12n?1?(1(2n?1)3?1(2n?1)32233)?b?a?(b?a)
?(a?b)(a?b?ab?a?b) （2） ?(a?b)[(a?222ab2?a)?(b?2ab2?b)] ?(a?b)[a(a?b2?1)?b(b?a2?1)] （3）
因
b2b?a2?1?a?a2b2?1?3a2?1?323?1?321?1?0，所以
a(a???bb1??)? ()0由（1）（3）（4）知an?bn.
法3：令g?b??a?b?ab?a?b，则g??b??2b?a?1?0?b?221?a2
所以g?b??max?g?0?,g?a???max?a2?a,3a2?2a?
13231349因0?a?,则a?a?a?a?1??0，3a?2a?3a(a?22)?3a(?)?0
所以g?b??a?b?ab?a?b?0 （5）
22由（1）（2）（5）知an?bn 7． (本小题满分14分)
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设双曲线
xa22?yb22=1( a > 0, b > 0 )的右
顶点为A，P是双曲线上异于顶点的一个动点，从A引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
(1) 证明：无论P点在什么位置，总有
???
第21题
|OP| = |OQ·OR| ( O为坐标原点)；
2
?????(2) 若以OP为边长的正方形面积等于双曲线实、虚轴围成的矩形面积，求双曲线离心率的取值范围；
解：(1) 设OP：y = k x, 又条件可设AR: y =
???ba(x – a ),
abak?b2 解得：OR= (
??????abak?b,
?kabak?bab), 同理可得OQ= (
?kabkab2??,
2kabak?b),
∴|OQ·OR| =|
?abak?bak?b+
ak?bak?b| =
ab(1?k)|ak22?b|2. 4分
??? 设OP = ( m, n ) , 则由双曲线方程与OP方程联立解得:
m =
b???2
ab22222, n =
b2
kab222222,
?ak?akab222∴ |OP| = :m + n =
222
b2?ak2+
bkab222222=
ab(1?k)b2222?ak?ak22 ,
∵点P在双曲线上，∴b2 – a2k2 > 0 .
??? ∴无论P点在什么位置，总有|OP| = |OQ·OR| . 4分 （2）由条件得：
ab(1?k)b4b222222
??????ak22= 4ab, 2分
即k =
2
?ab2ab?4a> 0 , ∴ 4b > a, 得e >
174 2分
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