去找 http://www.7zhao.net 习题十
1. 设G是一个(n，m)简单图。证明：，等号成立当且仅当G是完全图。
证明：（1）先证结论：
因为G是简单图，所以G的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。根据握手定理，G图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。 （2） =〉G是完全图 因为G具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。所以，G的每个结点的点度都为n-1，G为完全图。 G是完全图 =〉 因为G是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G的边数 。■ 2. 设G是一个（n，n+1）的无向图，证明G中存在顶点u，d（u）≥3。 证明：反证法，假设,则G的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n。与题设m = n+1，矛盾。因此，G中存在顶点u，d（u）≥3。■ 3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）（6，3，3，2，2） （3）（4，4，2，2，4）； （4）（7，6，8，3，9，5） 解：除序列（1）不是图序列外，其余的都是图序列。因为在（1）中，总和为奇数，不满足图总度数为偶数的握手定理。 可以按如下方法构造满足要求的图：序列中每个数字ai对应一个点，如果序列数字是偶数，那么就在对应的点上画ai/2个环，如果序列是奇数，那么在对应的点上画(ai-1)/2个环。最后，将奇数序列对应的点两两一组，添加连线即可。下面以（2）为例说明： (6 , 3, 3, 2, 2 ) 对应图G的点集合V= { v1,v2,v3,v4,v5} v1 v2 v3v5 v4
每个结点对应的环数(6/2, (3-1)/2, (3-1)/2, 2/2,2/2) = (3,1,1,1,1)
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去找 http://www.7zhao.net v1 v2 v3v5 v4 将奇数3，3 对应的结点v2,v3一组，画一条连线 v1 v2 v3v5 v4 其他序列可以类式作图，当然大家也可以画图其它不同的图形。■ 4．证明：在（n，m）图中。 证明：图的点度数是一组非负整数{d(v1),d(v2)…d(vn)}，那么这组数的算术平均值一定大于等于其中的最小值，同时小于等于其中的最大值。对应到图的术语及为：最大值为，最小值为δ，平均值 = (d(v1)+d(v2)…+d(vn))/n = 2m/n,所以。■ 5．证明定理10.2。 【定理10.2】 对于任何（n,m）有向图G =（V，E）， 证明：有向图中,每条有向边为图贡献一度出度，同时贡献一度出度，所以总出度和总入度相等，并和边数相等。因此，上述关系等式成立。■ 6．设G是（n，m）简单二部图，证明：。
证明：本题目，我们是需要说明n阶的简单二部图的边数的最大值 = 即可。
设n阶的简单二部图，其两部分结点集合分别为V1，V2,那么|V1| + |V2| = n。此种情况下，当G为完全二部图时，有最多的边数，即max(m) = |V1||V2|,变形为，max(m) =( n-|V2|)|V2|.此函数的最大值及为n阶二部图的边的上限值，其上限值为当|V2|=n/2 时取得。及max(max(m)) = ,所以n阶二部图(n,m), ■
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去找 http://www.7zhao.net 7. 无向图G有21条边，12个3度数结点，其余结点的度数均为2，求G的阶数n。
解：根据握手定理有： 21 =( 3Χ12 + 2(n-12))/2, 解此方程得n = 15■
8．证明：完全图的点诱导子图也是完全图。
证明：方法1
为证明此结论，我们先证两个引论：
引论1：设G(V,E)为母图，,则G的任意子图G'(V’,E’)是G关于V’的点诱导子图G''(V’,E’’)的子图。 引论2：引论1中G’’(V’,E’’)的任意点诱导子图，也是G图的点诱导子图。 证明：略，请读者证明。 设有完全图Kn( n≥1),现根据其p阶点诱导子图作归纳证明。 Kn的1阶点诱导子图，显然是完全图，且都是K1图。当n≥2，Kn的2阶点诱导子图，显然是完全图，且都是K2图 假设Kn的p(n>p>2)阶点诱导子图，为Kp图，那么对任意的p+1阶点诱导子图G，根据引理2结论，G的任意p阶点诱导子图G’为Kn的p阶点诱导子图，且为Kp图。因此，G必为Kp+1图。 根据以上论证可得原命题成立■ 方法2 因为完全图的任意两个顶点均邻接，所以点导出子图任意两个顶点也邻接，为完全图。■ 9．若，称G是自补图。确定一个图为自补图的最低条件；画出一个自补图来。 解：设G为(n,m)图，为(n,m`)图， 根据补图的定义有，至少应该满足 m+m`=n(n-1)/2 (1) 根据同构的定义有，至少应该满足 m=m` (2) (1),(2)联立求解得：m=n(n-1)/4, 及一个图为自补图，最低条件为结点数为4的倍数或为4的倍数加1。 图示略■ 10．判断图10.29中的两个图是否同构，并说明理由。 ???????图10.29 9-1.15图????? 解：题中两个图不同构，因为左边图的唯一3度点有2个1度点为其邻接点，而右图唯一的3度点只有1个1度点为其邻接点。因此这两个图不可能同构■
11．证明： 图10.30中的两个图是同构的。
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去找 http://www.7zhao.net 图10.30
解：略■
12. 求具有4个结点完全图K4的所有非同构的生成子图。
解：我们可以把生成子图按总度数不同进行分类，不同总度数的子图类决不同构。总度数相同的子图类中，再去找出不同购的子图。因此求解如下： Σd(v) = 0: (0,0,0,0) =2: (1,1,0,0)
=4: (2,1,1,0) (1,1,1,1)
=6: (3,1,1,1) (2,2,1,1)(2,2,2,0) =8: (2,2,2,2) (3,2,2,1) =10: (3,3,2,2) =12: (3,3,3,3)
总共10个不同构生成子图■
13. 设有向图D=
(1) 在图中找出所有长度分别为1，2，3，4的圈 (至少用一种表示法写出它们，并以子图形式画出它们)。
(2) 在图中找出所有长度分别为3，4，5，6的回路，并以子图形式画出它们。
解：(1)
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去找 http://www.7zhao.net C=AA C=Ae4Be8Ce5A C=Ae4Be7Ce6De2A C=ADA C=Ae4Be7Ce5A C=Ae4Be8Ce6De2A (2)子图略 长度为三的回路：Ae1Ae1Ae1A,Ae1Ae3De2A,Ae4Be7Ce5A,Ae4Be8Ce5A 长度为四的回路：AAAAA，AAADA，AABe7CA,AABe8CA,ABe7CDA,ABe8CDA 长度为五的回路：AAAAAA,AAAADA,AAABe7CA,AAABe8CA,AABe7CDA,AABe8CDA, AADADA,AAAe4Be7Ce5A,AAAe4Be8Ce5A, ADAe4Be7Ce5A,ADAe4Be8Ce5A■ 14. 试证明在任意6个人的组里，存在3个人相互认识，或者存在3个人相互不认识。 证明：设A为6人中的任一人，那么A要么至少与3人认识，要么至少与3人不认识，二者必居其一。 假设A与B，C，D三人认识，如果B，C，D三人互不认识，结论成立 如果B，C，D三人中，至少有两人相互认识，则它们和A一起，构成相互认识的3人，结论成立。 同理，A至少与3人不认识，结论也成立。因此，题设结论成立■ 15. 若u和v是图G中仅有的两个奇数度结点,证明u和v必是连通的。 证明：反证法，假设u和v不连通，那么他们必然分布于此图的两个连通分支中。那么它们将分别是各连通分支中唯一的奇数度结点。根据握手定理，一个图中奇度点的个数为偶数。而两个连通分支中，奇度点的个数为奇数。矛盾。矛盾的产生，是由于假设不连通导致的，因此，题设结论成立■ 16. 证明:G是二部图当且仅当G的回路都是偶长回路。 证明：设二部图G，顶点分为两个集合V1 ，V2 充分性：
先证明在二部图中，奇长路的道路的两个端节点一定分别在两个顶点集合中，对道路长度使用归纳法，
（1） 当道路长度为1是，根据二部图的定义，每条边的两个顶点分别在两个点集合中，
结论成立
（2） 假设道路长度为2n-1 ( n≥2)时结论成立
（3） 当道路长度为2n+1时，设P=v1v2…v2n-1v2nv2n+1,在此路径上删除最后两个结点，那
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