习 题 五
习 题 五
1. 由定积分的几何意义计算下列定积分 （1）? 2π 0 0sinxdx；
（2）? R ?R π22R?xdx；
（3）?3xdx；
?1（4）?cosxdx.
0 π 0 2π1. 解：由定积分的几何意义 （1）?（2）? 2π 0 R ?R 0sinxdx?22?sinxdx??? 2sinxdx?A?(?A)?0
2R?xdx?32? R ?RR?xdx?122?R
（3）?3xdx? ?1 π
（4）?cosxdx? 0? π2 0cosxdx?? ? π2cosxdx?A?(?A)?0
2. 用定积分的定义，计算由曲线y?x2?1与直线x?1,x?4及x轴所围成的曲边梯形的面积.
解：因为被积函数f(x)?x2?1在[1，4]上是连续的，故可积，从而积分值与区间[1，4]的分割及点?i的取法无关. 为了便于计算，把区间[1，4]分成n等份，每个小区间的长度都等于
3n，分点仍记为
1?x0?x1?x2???xn?1?xn?4
并取?i?xi(i?1，2，?，n)，得积分和
nnnn
?i?1f(?i)?xi??i?1(?i?1)?xi?27n3n2?i?12(xi?1)?xi?18n2n2?((i?13in+1)?1)23n
??ii?1??i?6
i?1?19n32n(n?1)(2n?1)?181n22n(n?1)?6
?92(1?1n)(2?1n)?9(1?1n)?6
令n??（此时各小区间的长度都趋于零，故??0），对上式取极限，由定积分的定义，得
n?41(x+1)dx?lim2??0?(?i?12i?1)?xi?lim[n???92(1?1n)(2?1n)?9(1?1n)?6]?24
3. 判断下列式子是否一定正确 （1）?f(x)dx≥0（其中f(x)≥0）；
a b（2）? b af(x)dx≥? b af(x)dx(a?b).
3. 解：
（1）不一定正确，这是因为题中未指明a与b的大小关系. 当a?b时，有?f(x)dx≥0；当a?b时，有?f(x)dx?0.
a a b b（2）一定正确.
由定积分的性质，已知a?b，f(x)?f(x)，则?4. 试比较下列各组积分值的大小，并说明理由 （1）?xdx， ?x2dx， ?x3dx；
0 0 0 1 1 1 b af(x)dx≥? b af(x)dx.
（2）?lnxdx， ?(lnx)2dx， ? 3 3 4 4 4 31lnxdx；
（3）?xdx， ?ln(1?x)dx， ?exdx.
0 0 0 1 1 14. 解：
（1）当x?[0,1]时，有x?x2?x3，因此?xdx? 0 1? 1 0xdx?2? 1 0xdx.
3（2）当x?[3,4]时，有lnx?1，(lnx)2?lnx?因此?(lnx)2dx? 3 41lnx，
?3 4 3lnxdx?? 4 31lnxdx
5. 计算
?（1）limx?0 x 0(1?cost)dtx?sinx；
?（2）limx?0 x 0(1?cost)dttanx?x3.
解：（1）根据洛必达法则和积分上限函数导数的性质
?limx?0 x 0(1?cost)dtx?sinx3
?lim1?cosx1?cosx3x?0
2?lim(1?cosx?cosx)?3
x?0（2）同理
lim? x 0(1?cost)dttanx?x3x?0
?lim1?cosxsecx?1223x?0
?lim3cosxsinx2tanx4?lim3cosxsinx2secxtanxsecx 1xxx?0x?0?32
6. 求y??costdt(x?0)的导函数y?(x).
02 0x2 1x 0x2解： y?(x)?[? 1costdt?x?2costdt]??[??0 costdt?2?costdt]?
2??cos21x?(?1x)?cos(x)?212x?1x2cos21x?12xcosx
7. 计算下列定积分 （1）?(x2? 1 31x2)dx；
解： （1）?(x2? 1 313131?(x?)?)dx92x33x11
（2）?（3）?令4 9 4x?1?xdx2?4xx?dx?? 9 4(x?x)dx?(233x2?12x)294?4516
4 1
t?24186222?4x?t,x?,dx?t2dt
3 ?xdx2?4x 5 11?1?8dx
1t(t?2)dt?[?2t]83186?322 （4）?令x?1x2x?1?t,x?t?1,dx?2tdt
?5x?1x 1 ?1π1dx?2?20t22t?1 0 ?1dx?2[t-arctant]20?2?[1?021t?12]dx?4?2arctan2
（5）?xxdx???x2dx?（6）?2π ?2e? 1 0xdx=0
2 sinxdx???10?π2πsinxdx??2sinxdx=2
0（7）?1lnxdx??? 1lnxdx?? 1lnxdx??[xlnx ee11e??e?1dx]?xlnxe1e1??e1dx?2-1e
（8）?2π ?2 π?cosx?cosxdx?3??-232cosxsinxdx?2??0433xx20cosxsinxdx
???2?20cosxdcosx??43cos2x2?
ln20（9）? ln2 0e(1?e)dx?xx2? ln2 0(e?2ex2x+e)dx?(e?e2x+13e)3x?613
（10）?? 1 ?1x?xdx
224? 1 ?1x1?xdx
2??0?1?x1?xdx?0?12?10x1?xdx
22?1?21?xd(1?x)?1?2101?xd(1?x)
22?133(1?x)2| e 120?1?133(1?x)2|0 ?2123
12lnx2（11）?2?lnxxxdx?? e 12?lnxdlnx?2lnx?e1?52
（12）?令 ln2 0 ln2 0e?1dx
2e?1?t,x?ln(t?1),dx?x l 02x2tt?12dt
10?e?1dx?2? at2t?1dt?2(t?arctant)?2?π2
（13）?x2a2?x2dx
0令x?asint,dx?acostdt ?x0a2a?xdx
22?2222 =?2asint?acostdt 0 =a2?8a2?20[1?cos4t]dt sin2tdt
2? =4a2?20 =8[t?sin4t2?]2 =0?a162
（14）??2?10 1 0x1?xdx
t221?tdt
?2?101t?1?1dt 1?t11?t]dt
10?2ln2-1
?2?[t?1?0?2[t22?t?ln(1?t)] 4（15）? 0令dx1?x x?t,dx?2tdt dx1?x e3? 4 0?2? 2 0tdt1?t?2??2? 2 0(t?1?1)1?tdt?2?(1? 0 211?t)dt=2(t?ln(1?t))20=4?2ln3
（16）? 1dxx1?lnx e 13d(lnx?1)21?lnx?21?lnxe13?2
（17）? 1 121?xx22?dx??
2costsint22??4dt??21?sintsint22??4dt???2[1sint2?1]dt
4??[?cott?t]π52?4?1??4（18）?2cosxsin2xdx? 0 ???20cosx2sinxdx??2?2cosxdcosx?06627
??2
（19）? π 0 excosxdx?1? π 0xdsinx?xsinx2?0???1 π 0sinxdx?cosx e?0 e 1（20）?xlnxdx? 1?2 1 0 e 1lnxdx?x?12xlnx?x102e1?2e 1xdx?12e?21?2exdx?14(e?1) 2e2（21）?xe?xdx? 0 1?xd(?e)??xe?? 1 0?xdx??e??1? 1 0?xdx?1?
（22）
???2x??cosxde2x?2x0?20e2xsinxdx???edcosx??e022xcosx2?0?20??e2xcosx2?2?2e0cosxdx???e2x?22x?2x?2x?2x0cosx2?2?edsinx??e0?0cosx2?2e0sinx2?4?2e0sinxdx
?20e2xsinxdx?15?[?e2x?2xcosx2?2e0sinx2]?025e??15
（23）?arctanxdx
0 1?xarctanx1010??10x1?x2dx
2d(x?1)
?xarctanx?12?1011?x122?xarctanx 310?ln(x?1)210??4?12ln2
（24）? 0令ln(x?1)x?1dx
2x?1?t,x?t?1,dx?2tdt
?30ln(x?1)x?1dx??22lntt x 0212tdt?4?lntdt?4[tlnt1221??21dt]?4[tlnt21?t21]?8ln2?4
8. 求函数I(x)??3t?1t?t?1dt在区间[0，1]上的最大值与最小值.
解：被积函数f(t)? I?(x)?3x?1x?x?123t?1t?t?12在[0，1]上连续，因此I(x)?? x 023t?1t?t?1dt可导.
?0，因此I(x)?? x 023t?1t?t?1dt在[0，1]上为增函数.