1. 某类电灯泡使用时在1000小时以上的概率为0.2，求三个灯泡在使用1000小以后最多只有一个坏的概率。
解A表示一个灯泡使用时数在1000小时以上
P（A）?0.2
P｛三灯泡中最多有一个坏｝=P｛三个全好｝+P｛只有一个坏｝
32= C3(0.2)3+C3(0.2)2(1–0.2)=0.104。
2. 一射手对同一目标独立进行了四次射击,若至少命中一次的概率为的命中率。
80, 求该射手81802?1?解?1?P(命中 0 次）?1?（1?p)4, (1?p)4????p?。 813?3?3. 某型号的高射炮，每门炮发射一发击中的概率为0.6，现若干门炮同时发射一发，问欲以99%的把握击中来犯的一架敌机至少需要配置几门炮？
解 设需要配置n门高射炮
?0.6 ， 则 P（A）A=“高炮击中飞机”
4P｛飞机被击中｝=P｛n门高射炮中至少有一门击中｝
=1–P｛n门高射炮全不命中｝
1?(1?P|A|)n?1?0.4n?99%
?0.4n?0.01?n?lg0?01?5?026 lg0?4 至少配备6门炮。
4. 设有三门火炮同时对某目标射击，命中概率分别为0.2、0.3、0.5，目标命中一发被击毁的概率为0.2，命中二发被击毁的概率为0.6，三发均命中被击毁的概率为0.9，求三门火炮在一次射击中击毁目标的概率。
解 设A=｛目标一次射击中被击毁｝Bi=｛目标被击中的发数｝，（i?0，1，2，3，）
则P(B0)?0.8?0.7?0.5?0.28
P(B1)=0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5+0.8×0.7×0.5=0.47
P(B2)=0.2×0.3×0.5+0.2×0.7×0.5+0.8×0.3×0.5=0.22 P(B3)=0.2×0.3×0.5=0.03
P(A|B0)?0 P(A|B1)?0.2P(A|B2)?0 .6 P(A|B3)?0.9
所以 P(A)??P?Bi?P?ABi??0.47×0.2+0.2×0.6+0.03×0.9=0.253。
i?035. . 掷一枚均匀硬币，直到出现3次正面朝上为止，若正好在第6次后停止，求第5次也正面朝上的概率.
解A=“正好在第6次后停止”，B=“第5次也正面朝上”.
11311?()??P(AB)2222?0.4 P(B|A)??111P(A)C52?()2?()3?2221C4?四、证明题
设A,B是任意二事件,其中A的概率不等于0和1, 证明,P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件。
，证因为A的概率不等于0和1,所以A的概率不等于0和1
P(AB)P(AB)?P(A)P(A) ?[1?P(A)]P(AB)?P(A)[P(B)?P(AB)] P(B|A)?P(B|A)? ?P(AB)?P(A)P(B),即A和B独立.第二章 随机变量及其函数的概率分布
§2.1 随机变量与分布函数
§2.2 离散型随机变量及其概率分布
三、 计算下列各题
1. 袋中有10个球，分别编号为1~10，从中任取5个球，令X表示取出5个球的最大号码，试求X的分布列。
解X的可能取值为5，6，7，8，9，10 且P(X?k)? 所以X的分布列为
Ck4?15C10, k?5,6,7,8,9,10
X P 5 6 7 8 9 10 155551 2522528436182312. 一批元件的正品率为，次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第
44X次首次测到正品，试求X的分布列。
?1?解 X的取值为1，2，3，… 且P(X?k)????4?k?1?33?, k?1,2,3,?. 44k 此即为X的分布列。
3. 袋中有6个球，分别标有数字1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令X为取出的球的号码，试求X的分布列及分布函数。 解 X的分布列为
X P 1 2 3 111 623?0, x?1?1?, 1?x?2?6 由分布函数的计算公式得X的分布函数为 F(x)??
2?, 2?x?3?3?1, x?3?4. 设随机变量X的分布律为P(X?k)?k k?1,2,3,4,5。 1515 求 (1) P(?X?), (2) P(1?x?3), (3) P(X?3).
2215121解(1) P(?X?)?P(X?1)?P(X?2)???,
2215155(2) P(1?x?3)?P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?453(3) P(X?3)?P(X?4)?P(X?5)??? .151551232???,1515155
?k5. （1）设随机变量X的分布律为P(X?k)?a k?1,2,?; ??0为常数，试
k!确定a。（2）设随机变量Y只取正整数值N，且P(Y?N)与N2成反比，求Y的分布律。 解 （1）因为
?P(X?k)?1,及?k?1k?1???kk!?e??1, ??0，所以a?1. ?e?1（2）令P(Y?N)?a6k类似上题可得 。 k? N?1,2,?; ?2N2所以Y的分布律为 P(Y?N)?6,?2N2N?1,2,?
6. 汽车沿街道行驶，需要通过3个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求X的概率分布
解X=0, 1, 2, 3, Ai=“汽车在第i个路口遇到红灯.”，i=1，2，3.
P(X?0)?P(A1)=
111, P(X?1)=P（A1A2）?2? 2421111P(X?3)，=?P（AAA）?? 123238238P(X?2)P（A1A2A3）?X P 0 1/2 1 1/4 2 1/8 3 1/8
为所求概率分布
7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止, 试求抛掷次数X的概率分布律. 解 设 Ai?\第i次出现6点\, P(Ai)?11, i?1,2,?,361111所以 X的概率分布为 P(X?k)?P(A1A2?Ak?1Ak)?(1?)k?1?, k?1,2,?3636
四、证明题
试证明： 设F1(x)和F2(x)都是分布函数，又a?0, b?0, 是两个常数，且a?b?1，F(x)?aF1(x)?bF2(x)也是分布函数.
（（?0?F1x)?1, 0?aF1x)?a 解（）因为1 ??0?aF（（1x)?bF2x)?a?b?1;
（0?bF（?0?F2x)?1,2x)?b（（?aF1x1)?aF1x2) (2) ?x1?x2, 有?（（?bF2x1)?bF2x2) ?F(x1)?aF（（（（1x1)?bF2x1)?aF2x2)?bF1x2)?F(x2),所以F(x)是不减函数. （3） limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?b?1x???x???x???x??? limF(x)?lim?aF（（（（1x)?bF2x)??alimF1x)?blimF2x)?a?0?b?0?0x???x???x???x???(4)F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)由于F(x)满足分布函数的四个性质，所以F(x)是分布函数.
§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数
三、计算下列各题
?x, 0?x?1?1. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??2?x, 1?x?2；求X的分布函数。
?0, 其它?解 F(x)??x???0, x?0?2?x, 0?x?1?f(x)dx ， F(x)??2 2?2x?x?1, 1?x?2?2??1, x?2?1?(1?x)e?x, x?02. 设随机变量X的分布函数为F(x)??；求(1) P(X?1); (2) X?0, x?0的密度函数。
解(1) P(X?1)?F(??)?F(1)?1?(1?2e?1)?2e?1;
?xe?x, x?0(2) f(x)?F?(x)??
?0, x?0?4x3, 0?x?13. 设连续型随机变量X的密度函数为f(x)??；
0, 其它?（1） 求常数a，使P(X?a)?P(X?a)； （2）求常数b，使P(X?b)?0.05。 解 （1）因为 P(X?a)?P(X?a)，所以1?P(X?a)?P(X?a),故
P(X?a)??4x3dx?a4?0a11,所以a?4。 2219,20（2） 因为 P(X?b)?0.05,1?P(X?b)?0.05,P(X?b)?b4?
所以b4?19,即b?40.95?0.9872 204. 在半径为R，球心为O的球内任取一点P，X为点O与P的距离，求X的分布函数及概率密度。
解 当0?x?R时，设OP?x，则点P落到以O为球心，x为半径的球面上时，它到O点的距离均为x，因此
P(X?x)?VOPVOR?0, x?043?33?x??x??x?3所以，X的分布函数为F(x)????, 0?x?R ????，
43?R???R??R3?1, x?R??3x2, 0?x?R? X的密度函数为 f(x)?F?(x)??R3?0, x?0,x?R?5. 设随机变量X的分布函数为F(x)?A?Barctanx,–∞