第六章 二次函数复习学案
一. 教学内容： 二次函数小结与复习 二. 重点、难点： 1. 重点：
⑴体会二次函数的意义，了解二次函数的有关概念；
⑵会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并能确定其最值； ⑶会运用待定系数法求二次函数的解析式；
⑷利用二次函数的知识解决实际问题，并对解决问题的策略进行反思. 2. 难点：
⑴二次函数图象的平移；
⑵将实际问题转化为函数问题，并利用函数的性质进行决策. 三. 知识梳理：
1. 二次函数的概念及图象特征 二次函数：如果
，那么y叫做x的二次函数．
通过配方可写成，它的图象是以直线
为对称轴，以2. 二次函数的性质 值 为顶点的一条抛物线．
函数的图象及性质 ⑴开口向上，并且向上无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最小值＞0 ； 当x＜时，y随x的增大而减小； 当x＞时，y随x的增大而增大． ⑴开口向下，并且向下无限伸展； ⑵当x＝时，函数有最大值＜0 ； 当x＜时，y随x的增大而增大； 当x＞时，y随x的增大而减小．
平移得到. 由于平移时，抛物线
3. 二次函数图象的平移规律 抛物线
可由抛物线
上所有的点的移动规律都相同，所以只需研究其顶点移动的情况. 因此有关抛物线的平移问题，需要利用二次函数的顶点式
4. 、、及
来讨论．
的符号与图象的关系
⑴a→决定抛物线的开口方向；a＞0. 开口向上；a＜0，开口向下． ⑵a、b→决定抛物线的对称轴的位置：
a、b同号，对称轴（＜0＝在y轴的左侧；
a、b异号，对称轴（＞0）在y轴的右侧.
⑶c→决定抛物线与y轴的交点（此时点的横坐标x＝0）的位置： c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上； c＝0，抛物线经过原点；
c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上． ⑷b－4ac→决定抛物线与x轴交点的个数： ①当b－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点； ②当b－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点； ③当b－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 5. 二次函数解析式的确定
用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立的条件，根据不同的条件选择不同的设法：⑴设一般形式：
（a≠0）；⑶设交点式：
（a≠0）；⑵设顶点形式：（a≠0）.
2222
6. 二次函数的应用问题
解决实际应用问题的关键是选准变量，建立好二次函数模型，同时还要注意符合实际情景.
【典型例题】
例1. 二次函数y=－x+2x－1通过向 （左、右）平移 个单位，再
2
向___________（上、下）平移 个单位，便可得到二次函数y=－x的图象.
2
分析：y=－x+2x－1的顶点为（3，2），y=－
2
x的顶点为（0，0），因此可以根
2
据顶点坐标确定平移的方向和距离.
解：y=－x+2x－1=－
2
（x－3）+2，∴把二次函数y=－
2
x+2x－1向左平移3个
2
单位，再向下平移2个单位，便得到y=－
x的图象．
2
例2. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象如下图所示，则下列5个代数式：ab，ac，a－b+c，b－4ac，2a+b中，值大于0的个数有（ ）
2
2
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 解析：∵抛物线开口向上，∴a＞0. ∵对称轴在y轴左侧，∴a，b同号. 又a＞0，∴b＞0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c﹤O. ∴ab＞0，ac﹤0.
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b－4ac＞0.
2
∵对称轴x=－=－1，
∴b=2a. ∴2a+b﹥0
当x=－1时，y=a－b+c﹤0. ∴选C.
例3. 如图，抛物线y=－x+2（m+1）x+m+3与x轴交于A、B两点，且OA：OB=3：1，则m的值为（ ）
2
A. － B. 0 C. －或0 D. 1
分析：二次函数的图象与x轴交点的横坐标与点到原点的距离即线段的长度应区分开，当点A在原点右侧时，xA=OA；当点A在原点左侧时，xA+OA=0（注：点A在x轴上）.
解：设OB=x，则OA=3x（x﹥0），则B（－x，0），A（3x，0）. ∵－x，3x是方程－x+2（m+1）x+m+3=0的根， ∴－x+3x=2（m+1），－x·3x=－m－3.
2
解得m1=0，m2=－.
又∵x﹥0，∴m=－∴m=0，因此选B.
不合题意.
例4. 已知二次函数y=mx+（m－1）x+m－1有最小值为0，求m的值. 分析：二次函数y=ax+bx+c有最大（小）值
22
2
a﹤0（a＞0）.
解：∵二次函数y=mx+（m－1）x+m+1有最小值为0，
∴
即
解得m=1.
例5. 已知关于x的二次函数y=（m+6）x+2（m－1）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，求m的取值范围.
分析：这个函数是二次函数，应注意m+6≠0这个条件.
解：∵二次函数y=（m+6）x+2（m－l）x+（m+1）的图象与x轴总有交点，
2
2
∴
∴m≤－且m≠－6.
例6. 如图所示，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4. 9m，AB=10m，BC=2. 4m. 现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道.
问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁多少米才不至于碰隧道顶部？（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）
分析：由已知条件知，抛物线经过原点O（0，0）、C（10，0），顶点的纵坐标为（4. 9－2. 4）=2. 5. 由此可求出抛物线的关系式，要想使汽车的顶部不碰到隧道的顶部，看y=4－2. 4=1. 6时，求出x的值.
解：由已知条件知，该抛物线顶点的横坐标为=5，纵坐标为4. 9－2. 4=2. 5，C
2
点坐标为（0，0），∴设抛物线的函数关系式为y=a（x－5）+2. 5.
把（0，0）或（10，0）代入上式，得0=25a+2. 5. 解得a=－.
∴y=－（x－5）+2. 5.
2
当y=4－2. 4=1. 6时，1. 6=－（x－5）+2. 5.
2
解得x1=8，x2=2（不合题意，舍去）. ∴x=8，∴OC－x=10－8=2（米）.
故汽车离开右壁至少2米，才不会碰到顶部.