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第5讲 数列的综合应用
A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知{an}为等比数列．下面结论中正确的是 A．a1＋a3≥2a2
22
B．a21＋a3≥2a2
( )．
C．若a1＝a3，则a1＝a2 D．若a3>a1，则a4>a2
解析 设公比为q，对于选项A，当a1<0，q≠1时不正确；选项C，当q＝－
2
1时不正确；选项D，当a1＝1，q＝－2时不正确；选项B正确，因为a1＋22a3≥2a1a3＝2a2.
答案 B
2．满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是 A．9
( )．
B．10 C．11 D．12
解析 因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(n∈N*)，所以an＋1＝2an，an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1 025的最小n值是11. 答案 C
3．(2013·威海期中)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批1
同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝2n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是 A．5年
B．6年
C．7年
( )．
D．8年
解析 由已知可得第n年的产量an＝f(n)－f(n－1)＝3n2.当n＝1时也适合，据题意令an≥150?n≥52，即数列从第8项开始超过150，即这条生产线最多生产7年． 答案 C
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4．(2013·福州模拟)在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝ A．7
B．8
C．9
( )．
D．10
解析 设公差为d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)， 4
所以d＝－33a1<0.
?4?
解不等式an>0，即a1＋(n－1)?－33a1?>0，
??37
所以n<4，则n≤9，
当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0. 故当n＝9时，Sn取得最大值． 答案 C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．(2012·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x＜2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 解析 由x2－x＜2nx(n∈N*)，得0＜x＜2n＋1，因此知an＝2n. 100?2＋200?∴S100＝＝10 100.
2答案 10 100
6．(2013·南通模拟)已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等ac
差数列，则x＋y＝________.
a＋bb＋c
解析 赋值法．如令a，b，c分别为2,4,8，可求出x＝2＝3，y＝2＝6，acx＋y＝2. 答案 2
三、解答题(共25分)
7．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝35，a5和a7的等差中项为13. (1)求an及Sn； (2)令bn＝4
(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn. 2an－1
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解 (1)设等差数列{an}的公差为d， 因为S5＝5a3＝35，a5＋a7＝26，
?a1＋2d＝7，所以?解得a1＝3，d＝2，
?2a1＋10d＝26，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1， n?n－1?
Sn＝3n＋2×2＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1，
4111
所以bn＝2＝＝n－，
an－1n?n＋1?n＋11?1??11??1?
所以Tn＝?1－2?＋?2－3?＋?＋?n－n＋1?
??????1n
＝1－＝. n＋1n＋1
8．(13分)(2012·广东)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值；
(2)求数列{an}的通项公式；
1113(3)证明：对一切正整数n，有a＋a＋?＋a<2.
1
2
n
(1)解 当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3， 当n＝2时，2(a1＋a2)＝a3－8＋1＝a3－7，
① ② ③
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋5)， 由①②③解得a1＝1.
(2)解 ∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1， ∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
an＋13an两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则2n－2·n－1＝1，
2an＋13?an?a1即2n＋2＝2?2n－1＋2?.又20＋2＝3，知
??
?an???
?n－1＋2?是首项为???2?
3
3，公比为2的等比数列，