第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）
第五节 隐函数的求导公式
要求：会求隐函数（包括方程组确定的隐函数）的偏导数。 重点：隐函数（组）的求导公式与求导法。
难点：理解隐函数（组）的存在定理，隐函数组的求导法。 作业：习题8－5（P43）2,4,7,8,101)3),11**
一．一个方程的情形
在一元函数微分中，曾引进了隐函数的概念，并介绍了不经过显化直接由确定隐函数的方程F(x,y)?0，求它所确定y是x的隐函数的导数的方法．下面可利用多元复合函数的求导法则来推出隐函数的求导数公式．
?Fy例如，方程e?xy?e确定隐函数的偏导数为
dydx???x． ??y?Fe?x?yy如果
?F?y?0，则方程F(x,f(x))?0两边对x求导，有
?F
dFdx??F?x??Fdy?ydx?0 ，从中解出
dydx???x． ?F?y1．隐函数存在定理1 设函数F(x,y)满足条件
（1）在点P0(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）F(x0,y0)?0； （3）Fy(x0,y0)?0，
则方程F(x,y)?0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有连续导数的函数y?f(x)，它满足条件y0?f(x0)，并有导数公式
dydx??FxFy．
说明：求偏导数Fx时，将函数F(x,y)中y视为常数，对x求偏导数； 求偏导数Fy时，将函数F(x,y)中x视为常数，对y求偏导数．
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第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）
例1．验证方程y?xe?1在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数y?f(x)，当x?0时y?1，并求这函数的一阶与二阶导数在x?0的导数值．
解 设函数F(x,y)?xe?y?1，
则 Fx?e，Fy?xe?1，显然偏导数连续，且F(0,1)?0，又Fy(0,1)??1?0，因此由定理1可知方程y?xe?1在点(0,1)的邻域内能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的隐函数y?f(x)，当x?0时，y?1．有导数
dydxFxFyeyyyyyyy???1?xe?ey2?yy，
dydxy|x?0?e
二阶导数为
dydx222?ey?(2?y)?ey'(2?y)e(3?1)(2?1)322y?e(3?y)(2?y)2y'?e2y(3?y)3(2?y)
dydx2|x?0??2e．
2如果函数F(x,y)的二阶偏导数连续，可求出二阶导数公式
dydx22 ???x(?FxFy)???y(?FxFy)dydx
??FxxFy?FyxFxFy22?FxyFy?FyyFxFy2(?FxFy)
??FxxFy?2FxyFxFy?FyyFxFy32．
2．隐函数存在定理2 设函数F(x,y,z)满足条件
（1）在点P0(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数； （2）F(x0,y0,z0)?0； （3）Fz(x0,y0,z0)?0，
则方程F(x,y,z)?0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续，且具有
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第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）
连续偏导数的函数z?f(x,y)，它满足条件z0?f(x0,y0)，并有偏导数公式
公式的推导：
由于F(x,y,z)?0确定二元函数z?f(x,y)，将其代入方程F(x,y,z)?0中，得
F(x,y,f(x,y))?0，方程两边分别对x和y求偏导数得
?z?x??FxFz，
?z?y??FyFz．
Fx?Fz?z?x?0，Fy?Fz?z?y?0，
由上面两式分别解出偏导数
?z?x??FxFz，
?z?y??FyFz．
说明：求偏导数Fx时，将函数F(x,y,z)中y,z视为常数，对x求偏导数； 求偏导数Fy时，将函数F(x,y,z)中x,z视为常数，对y求偏导数；
求偏导数Fz时，将函数F(x,y,z)中x,y视为常数，对z求偏导数．
?z?z?z例2．设方程x?y?z?4z?0，求，． ,?x?y?x?y2222解 方法1：设函数F(x,y,z)?x?y?z?4z．则
Fx?2x ，Fz?2z?4 ，Fy?2y
?z?x2x2z?4x2?z222于是
?z?x???，
?z?y??2y2z?4?y2?z．
上式?x2?z再对y求偏导数，得
?zy)xy2?x ． ???223?x?y(2?z)(2?z)(2?z)?z2x?yx(方法2：方程x?y?z?4z?0两边对x求偏导，得 2x?2z?z?x?4?z?x?0，解得
?z?x??2x2z?4?x2?z222，
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通理得
?z?y??2y2z?4?y2?z
练习：设方程z?y?lnxz，求
?z?x?y2．（用两种方法求一阶导
?z?x?zx(z?1)，?z?y?zz?1）
例3．设方程G(,zxyz)?0确定函数z?z(x,y)，且G(u,v)偏导数存在，求
?z?z． ,?x?y 解 令F(x,y,z)?G(,zxyz)?G(u,v)，其中u?xzy,v?yFx?G1?1z，Fy?G2?FxFz1z ，Fz?G1(?1G1xz2)?G2(?z2)?z?1，
(xG1?yG2)，则
z2
?z?x???z1z2?zG1xG1?yG2．
(xG1?yG2)1G2??z?y??FyFz?z1z2zG2xG1?yG2．
(xG1?yG2)也可以用方法2求偏导数．
练习题 设方程G(xy,y?z,xz)?0确定函数z?z(x,y)，而G(u,v,w)偏导数存在，
?z?z． ,?x?y且G2?xG3?0，求
二．方程组的情况
1．方程组??F(x,y,u,v)?0?G(x,y,u,v)?0 ⑴
这是两个方程四个变量的方程组，一般只能有两个变量独立变化，所以方程组⑴可确定两个二元函数u?u(x,y),v?v(x,y)，将其代入⑴中，得
F(x,y,u(x,y),v(x,y))?0G(x,y,u(x,y),v(x,y))?0 ，
将上式两边分别对x求偏导数，得
?u?v?F?F?F?0xuv???x?x ?，
?u?v?G?G?Gv?0xu??x?x? 4
第八章 多元函数微分法及应用（§5 隐函数的求导公式）
这是关于
?u?v?u?v的线性方程组，可以从中解出，也可用行列式求解．见下面定理3． ,,?x?x?x?x隐含数存在定理3
设函数F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v)满足下列条件
（1）在点P0(x0,y0,u0,v0)的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数； （2）F(x0,y0,u0,v0)?0，G(x0,y0,u0,v0)?0；
（3）函数F,G对u,v的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式)
J??(F,G)?(u,v)?FuGuFvGv?0，在点P0(x0,y0,u0,v0)
G(x,y,u,v)?0在点P0的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连则方程组F(x,y,u,v)?0，
续且具有连续偏导数的函数u?u(x,y),v?v(x,y)，满足条件u0?u(x0,y0)，
v0?v(x0,y0) 并有偏导数公式
?u?x?u?y1?(F,G)J?(x,v)1?(F,G)J?(y,v)?v?x1?(F,G)J?(u,x) ?? ，??
?? ，
?v?x??1?(F,G)J?(u,y)．
例4．设方程xu?yv?0，yu?xv?1，求偏导数 解 将所给方程的两边对x求偏导数并移项，得
?x?? ??y???u?x?u?x?y?x?u?x?u?x2?u?u?v?v． ,,,?x?y?x?y??u
??v 在F??u?u?x??v2xy?yx?yx2?x?y2?0条件下，
x??xu?yvx?y22?u?v22x?y；
?v?x?yx?y??yu?xvx?y22．
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