华侨大学复变函数（两学分）厦门校区期末考试参考答案（B）
一、填空（每空4分）
?1、2e12i，
125?e12i； 2、z1?322?32?i?2??2???3232?，z2???i?2???22??x?y22??； ??3、e6、
??????2k??4???cosln2?isinln2，k?0,?1,?2,?；4、e?； 5、1+3i；
?14； 7、（1）、（2）、（3）.
二、计算积分 1、 解：
?dzz?2?z?1?z2??2?i?Re???????11…【4分】s?,0?Res,?1????22???z?1?z???z?1?z???2?i??1?1??0【4分】.
??2?i??Rez?1sinz?dz?1??s?,0???【4分】?2??sinz???2、 解：??1?i???2?i【4分】. ?cos0?3、 解：
?Cz1?dz??021ei?ied???i2.【8分】
三、解：u(x,y)?x2?axy?by2，v(x,y)?cx2?dxy?y2.由柯西-黎曼方程知：
??2x?ay?dx?2y?ux?vy【2分】，所以?，所以a?2,b??1,c??1,d?2【6分】。?ax?2by??2cx?dyu??v??x?y且f?(z)?ux?ivx?2(x?y)?2i(y?x)【4分】. 四、解：由已知f(z)?1?11????，
2?z?1z?1?1z?1n?（1） 当0?z?1时，??(?1)n?0?nzn【2分】，
1z?1???zn?0n【2分】，所以
f(z)?1?(?1)?2n?0??1z?n???zk?02k?1【2分】.
（2） 当0?z?1?1时，
1z?1?1??2?(?1)2nn(z?1)n【3分】，所以
n?0f(z)?14??n?0(?1)2nn(z?1)?n12(z?1)?12(z?1)?14?z?18??z?1?216??【3分】.
复变函数（2学分）参考答案B 第 1 页 共 2 页
五、解：vx?pepxsiny，vxx?pe2pxsiny，vy?epxcosy，vyy??epxsiny【2分】.
由拉普拉斯方程得：uxx?uyy?0，所以p??1【2分】。 当
时
，
由柯
西-黎
曼
方程
知
：
??ux?vy???uy??vxp?1，所以
u??vydx??excoysd?excxoy?s?1(y)【3分】，再由uy??vx得：
?xx?esiyn??1(y)??esiyn，所以?1(y)?C，这里C为实常数。所以
【3分】 f(z)?ecosy?iesiny?C。同理当p??1时，f(z)?e?xxxcosy?ie?x?siny?C【2分】.
六、证明：由题知z0为f(z)的一级零点。当z0?0时，z0为
zf?(z)zf?(z)f(z)的可去奇点，所以
12?i?C?zf?(z)?zf?(z)?Res?,0??0?z0【6分】. 当z0?0时，z0为的一级f(z)f(z)f(z)??极点，所以
12?i?zf?(z)C?zf?(z)?zf?(z)?Res?,z0??f(z)f?(z)?f(z)??z0【6分】.
z?z0复变函数（2学分）参考答案B 第 2 页 共 2 页