习题11—1
1. 什么叫微分方程和微分方程的阶?指出下列各微分方程的阶数:
解：含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程； 微分方程中出现的导数的最高阶数叫做微分方程的阶。 (1)x(y?)2-2yy?+x?0；
方程（1）中含有的未知函数的最高阶导数是一阶导数，因此它是一阶微分方程
dQQd2QR(2)L++?0； dtcdt2方程（2）中含有的未知函数的最高阶导数是二阶导数，因此它是二阶微分方程 (3)(7x?6y)dx=(x?y)dy；
方程（3）中含有的未知函数的最高阶微分是一阶微分，因此它是一阶微分方程 (4)xy????2y???x2y?0．
方程（4）中含有的未知函数的最高阶导数是三阶导数，因此它是三阶微分方程
2. 什么叫做微分方程的解？下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？
解：如果将一个函数代入微分方程后能使方程两端恒等，则称此函数为该微分方程的解。
2 (1)y?5x, xy??2y ；
因为y?5x，则xy??10x?2y 所以，y?5x是方程y?5x的解
2x(2) y?xe, y???2y??y?0；
2222因为y?xe，则有y??(x?2x)e，y???(x?4x?2)e
2x2x2x因此y???2y??y?(x?4x?2)e?2(x?2x)ey?xe?2e?0 2x所以，y?xe不是方程y???2y??y?0的解
x2x2x2x(3)y?3sinx?4cosx, y???y?0 ；
因为y?3sinx?4cosx，则有y??3cosx?4sinx，y????3sinx?4cosx 因此y???y??3sinx?4cosx?3sinx?4cosx?0
所以，y?3sinx?4cosx是方程y???y?0的解 (4) y?c1e?x?c2e2x, y???y??2y?0.
因为y?c1e?x?c2e2x，则有y???c1e?x?2c2e2x，y???c1e?x?4c2e2x 因此y???y??2y?c1e?x?4c2e2x?c1e?x?2c2e2x?2c1e?x?2c2e2x?0 所以，y?c1e?x?c2e2x是方程y???y??2y?0的解
3．在下列各题中，验证右端二元方程所确定的函数为所给微分方程的解： (1)(x?2y)y??2x?y，x2?xy?y2?C;
解：方程x2?xy?y2?C两边对x求导，2x?y?xy??2yy??0 解得y??y?2x，
2y?xy?2x?2x?y
2y?x因此(x?2y)y??(x?2y)?22所以x?xy?y?C是方程(x?2y)y??2x?y的解
2(2) (xy?x)y???xy??yy??2y??0,y?ln(xy)
解：方程y?ln(xy)两边对x求导，y??即xyy??y?xy? 上式两边对x求导，
y?xy? xyyy??xy?2?xyy???2y??xy??
整理得(xy?x)y???xy??yy??2y??0
2所以y?ln(xy)是方程(xy?x)y???xy??yy??2y??0的解
2