双曲线 教材解读
一、知识精讲
1、正确理解双曲线的定义
一要注意不要将“绝对值”丢掉，否则就不是整个双曲线了（仅表示双曲线的一支）；二要注意“常数”的条件，即常数2a<|F1F2|，因为当2a=|F1F2|时，其轨迹是以F1和F2为端点的两条射线，而当2a> |F1F2|时，其轨迹不存在。
2、准确把握双曲线的标准方程
（1）双曲线的标准方程中“标准”的含义有两层：一是两个焦点在坐标轴上；二是两个焦点的中点与坐标原点重合。
（2）两种双曲线的异同：①相同点：形状、大小相同，都有a>0，b＞0，c2=a2+b2；
②不同点：两种双曲线的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。
（3）判断焦点位置的方法：双曲线的焦点在x轴上?标准方程中x2项的系数为正；双曲线的焦点在y轴上?标准方程中y2项的系数为正。
（4）与椭圆标准方程的不同：
①双曲线有两条渐近线，而椭圆没有渐近线；椭圆标准方程中是“+”号，双曲线标准方程中是“－”号；
②双曲线方程和椭圆方程各有两种形式，其判断方法不同：对于双曲线
x2y2y2x2?2?1和2?2?1来说，如果x2项为正的，则焦点在x轴上；x2项的分2abab母是a2；如果y2项为正的，则焦点在y轴上；y2项的分母是a2，a不一定大于b，这和椭圆有明显的不同。
③双曲线有两个顶点，离心率e>1；而椭圆有四个顶点，离心率e<1；椭圆
1 / 6
标准方程中a2=b2+ c2，而双曲线中c2=a2+b2。
3、 对双曲线的简单几何性质的加强理解
（1）双曲线的焦点（两个）总在它的实轴上；椭圆的离心率是描述椭圆扁平程度的一个重要数据。同样，双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个
bc2?a2b重要数据，由于??e2?1，当e从接近1逐渐增大时，的值就从
aaa接近于0逐渐增大，双曲线的“张口”逐渐增大。
（2）要掌握根据双曲线的标准方程求它的渐近线方程的求法。
x2y2x2y2bxy因为y=±x?±＝0?2－2＝0，所以把标准方程2－2＝1
aabaabb（a>0，b＞0）中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程。
（3）已知渐近线方程求双曲线的标准方程的方法：
①渐近线方程为mx±ny＝0的双曲线的方程为：m2x2－n2y2＝?（?≠0且为常数）。
x2y2x2②与双曲线2－2＝1（a>0，b＞0）有共同渐近线的双曲线方程可设为2aaby2－2＝?（?≠0且为常数）。 b（4）实轴与虚轴相等（即a=b）的双曲线称为等轴双曲线，其渐近线为y=±x，离心率e=2。
二、方法点拨
1、应用双曲线的定义和标准方程解题时，应注意：（1）动点是否满足双曲线的准确定义。（2）条件“2a<|F1F2|”是否成立。（3）是否使|PF1|-|PF2|=2a与|PF1|-|PF2|=-2a同时成立。（4）焦点所在坐标轴是否明确。
2 / 6
2、求双曲线标准方程的方法
（1）求双曲线的标准方程包括“定量”和“定位”。要求出双曲线的标准方程，就要求出a2和 b2这两个“待定系数”，于是需要两个独立的条件，按条件列出方程关于a2和 b2的方程组。解得a2和 b2的具体数值后，再按位置特征写出标准方程，因此“定量”是指a、b、c等数值的确定；“定位”则是指除了中心在原点以外，判断焦点在哪条坐标轴上，以便在使方程的右边为1时，确定方程的左边哪一项为正，哪一项为负，同时也就确定了a2和 b2在方程中的位置。
（2）求双曲线方程一般可用待定系数法，其解题方法是先定型，再定量。解题步骤分为：首先判断曲线的类型，其次求出关键数据（即待定系数），最后写出曲线方程。
x2y2b（3）如果已知渐近线方程y=±x ，双曲线方程可设为2?2??，通过
aab求出?确定双曲线方程。
三、高考考情分析与应试策略
双曲线的定义、标准方程、几何性质是高考的重点和热点之一，高考中主要以选择题、填空题为主，其次考查以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，这类问题以解答题为主。高考会从以下几个方面来命题：（1）运用双曲线的定义解决到焦点的距离，焦点弦等有关问题，双曲线的定义仍将是今后考查的重点。（2）灵活运用双曲线的性质，解决离心率、渐近线问题，也是今后考查的重点。有关离心率的问题将会是一个热点。（3）以双曲线为载体的开放题、研究性问题，将逐步取代繁冗的解答题，成为高考的热点。
在学习中掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质时，要注重数形结合。一是结合图形理解标准方程中的参数 a、b、c、e的几何意义及相互
3 / 6
关系；二是结合图形理解双曲线的简单几何性质。
四、高考热点题型展现 1、有关基本概念的考查
双曲线的定义及标准方程是双曲线的基础知识，高考中多为基础性题目。
y2x2??1表示双曲线”的例1．（上海春）若k?R，则“k?3”是“方程
k?3k?3( )
（A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件. （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件. 解：应用直接推理和特值否定法．当k>3时，有k－3>0,k+3>0，所以方程
表示双曲线；当方程
这不在k>3里．故应该选A．
2、双曲线的几何性质的考查
表示双曲线时，k=－4 是可以的，
双曲线的几何性质作为是高考的重点和热点之一，高考中必定考查，有离心率的题目出现上升趋势。
x2y2π
例2．(陕西卷)已知双曲线a2 － 2 =1(a>2)的两条渐近线的夹角为3 ,则双曲线的离心率为
2623A.2 B.3 C.3 D.3 πx2y2?1(a>2)的两条渐近线的夹角为 ，则解法1：双曲线2?3a2232?3，所以 a2=6，双曲线的离心率为3 ，选D． ?tan?a63解法2：认识两条渐近线的夹角和几何量之间的关系,构建方程有
4 / 6
2323,选D; ?,所以a2?6,b2?2,c2?8,e?a333、双曲线有关的综合问题
以双曲线为载体，融入三角、不等式、函数、向量的综合性问题，是高考考查的重点，也是我们学习中的难点。
例3．（四川卷）已知两定点F1?2,0,F2????????????2,0，满足条件PF2?PF1?2?的点P的轨迹是曲线E，直线y?kx?1与曲线E交于A,B两点。如果AB?63，
????????????且曲线E上存在点C，使OA?OB?mOC，求m的值和?ABC的面积S。
分析：本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本思想、方法和综合解决问题的能力。
解：由双曲线的定义可知，曲线E是以F1?2,0,F2???2,0为焦点的双曲线
?的左支，且c?2,a?1，易知b?1， 故曲线E的方程为x2?y2?1?x?0?
?y?kx?1设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意建立方程组?2 2?x?y?1 消去y，得?1?k2?x2?2kx?2?0
又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有
?1?k2?0?22????2k??8?1?k??0?? 解得?2?k??1 ?x?x??2k?012?1?k2??2?x1x2??0?1?k2?又因为 AB?1?k2?x1?x2?1?k2??2??2k??2?1?k2???4?2?21?k?1?k?2?x1?x2?2222?4x1x2 ?1?k??2?k? ?1?k?2 5 / 6
依题意得 2?1?k??2?k??6?1?k?22223 整理后得 28k?55k?25?0
42∴k2?555或k2? 但?2?k??1 ∴k?? 7425x?y?1?0 2????????????设C?xc,yc?，由已知OA?OB?mOC，得?x1,y1???x2,y2???mxc,myc?
故直线AB的方程为x1?x2y1?y2?所以?mxc,myc???,??，?m?0? mm??2k2k22??45，y1?y2?k?x1?x2??2?2?2?2又x1?x2?2?8 k?1k?1k?1?458? 即点C???m,m????将点C的坐标代入曲线E的方程，得
8064??1 m2m2得m??4，但当m??4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 所以m?4，C点的坐标为?5,2
C到AB的距离为5??5?2?12?????5?2???1?2?2?1 3
11所以?ABC的面积S??63??3 23 6 / 6