椅子能在不平的地面上放稳
把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍挪动几次，就可以四脚着地，放稳了。下面用数学语言证明。
一、 模型假设
对椅子和地面都要作一些必要的假设：
1、 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触可视为一个点，四脚的连线呈正方形。
2、 地面高度是连续变化的，沿椅子的任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即地面可视为数学上的连续曲面。 3、 对于椅脚的间距和椅子脚的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只同时着地。
二、模型建立 中心问题是数学语言表示四只同时着地的条件、结论。
首先用变量表示椅子的位置，由于椅脚的连线呈正方形，以中心为对称点，正
B? B A? C A x C? D? D 方形绕中心的旋转正好代表了椅子的位置的改变，于是可以用旋转角度?这一变量来表示椅子的位置。
其次要把椅脚着地用数学符号表示出来，如果用某个变量表示椅
脚与地面的竖直距离，当这个距离为0时，表示椅脚着地了。椅子要挪动位置说明这个距离是位置变量的函数。
由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记A、C两脚与地面距离之和为f???，B、D两脚与地面距离之和为g???，显然f???、g????0，由假设2知f、g都是连续函数，再由假设3知
f???、g???至少有一个为0。当??0时，不妨设g????0,f????0，这
样改变椅子的位置使四只同时着地，就归结为如下命题：
命题 已知f???、g???是?的连续函数，对任意?，f???*g???=0，且g?0??0,f?0??0，则存在?0，使g??0??f??0??0。
三、模型求解
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换，由g?0??0,f?0??0可知
g??2??0,f??2??0。令h????g????f???，则h?0??0,h??2??0，由f、
g的连续性知h也是连续函数，由零点定理，则存在?0?0??0??2?使
h??0??0，g??0??f??0?，由g??0?*f??0??0，所以g??0??f??0??0。
四、评 注
模型巧妙在于用已知的元变量?表示椅子的位置，用?的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转900并不是本质的，同学们可以考虑四脚呈长方形的情形。