习 题
5-1 如图5-13所示，偏心轮半径为R，绕轴O转动，转角???t（?为常量），偏心距OC?e，偏心轮带动顶杆AB沿铅垂直线作往复运动。试求顶杆的运动方程和速度。
图5-13
y?esin(?t)?R2?e2cos2(?t)
??e?[cos(?t)?v?yesin(2?t)2R?ecos(?t)222
5-2 梯子的一端A放在水平地面上，另一端B靠在竖直的墙上，如图5-14所示。梯子保持在竖直平面内沿墙滑下。已知点A的速度为常值v0，M为梯子上的一点，设MA = l，MB = h。试求当梯子与墙的夹角为?时，试点M速度和加速度的大小。
图5-14
hxA yM?lco?s l?hv0hh?cos???M?h??A? x ??xv0 得 ?l?hl?h(l?h)cos?v0lv0?si?n??lsi?n??M??l? y??ta?n
(l?h)co?s(l?h)??M?0 xxM?hsin??2lv0?lv0v0lv022 ??M??y?sec???sec????23(l?h)(l?h)(l?h)cos?(l?h)cos?aM2lv0 ?23(l?h)cos?
5-3 已知杆OA与铅直线夹角??πt/6（??以 rad 计，t以s计），小环M套在杆OA、CD上，如图5-15所示。铰O至水平杆CD的距离h =400 mm。试求t = 1 s时，小环M的速度和加速度。
图5-15
xM?htan? ?sec2??400??M?h? xπ2sec? 62π40π0π20π033?se???M?40?0?(2?xcsi?n)???se?csi?n?se3?csi?n 6369- 1 -
π 6400ππ400π4800π vM?sec2()????279.3mm/ s66639200π2π200π2231800π23πaM??sec()?sin()??()???168.8mm/s2 966922733
5-4 点M以匀速u在直管OA内运动，直管OA又按???t规律绕O转动，如图5-16
当t?1s时??所示。当t = 0时，M在点O处，试求在任一瞬时点M的速度和加速度的大小。
图5-16
x?utcos(?t) y?utsin?(t)
??usin???ucos x?(t)?u?tsin?(t) y(t)?u?tcos?(t)
????u?sin(?t)?u?sin(?t)?u?2tcos(?t) x??u?[2sin(?t)??tcos(?t)] ???u?[cos(y?t)?cos(?t)??tsin(?t)] ?u?[2cos(?t)??tsin(?t)]
v??2?y?2?u1?(?t)2 xa???2???2?u?4?(?t)2 xy
5-5 点沿曲线AOB运动，如图5-17所示。曲线由AO、OB两段圆弧组成，AO段半径R1= 18m，OB段半径R2= 24m，取圆弧交接处O为原点，规定正方向如图。已知点的运动方程s =3 +4t – t 2，t 以s 计，s以m计。试求：(1) 点由t = 0 到t = 5 s所经过的路程；（2）t = 5 s时点的加速度。
图5-17
??4?2t v?0时t?2s s?3?4t?t2 v?s s(0)?3 s(2)?7 s(5)??2
由t = 0 到t = 5 s所经过的路程 s?(7?3)?|?2?7|?13m
v2(4?10)236 aτ??2 an????2m/2s
RR18a?22aτ?an?22?22?22?2.828m/s2
5-6 图5-18所示的摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如BC的半径为R，摇杆OA的轴O在弧BC 的圆周上。摇杆绕轴O以等角速度?转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求其速度和加速度。
- 2 -
图5-18
直角坐标法
x?R?Rcos??R(1?cos2?t) y?Rsin??Rsin2?t ???2R?sin2?t y??2R?cosx2?t ????4R?2cos2?t ????4R?2sinxy2?t
v??2?y?2?2R? xa???2???2?4R?2 xy自然法
s?R?2?t?2R?t
??2R? v?s??0 aτ??san?v2??4R?2
5-7 小环M在铅垂面内沿曲杆ABCE从点A由静止开始运动，如图5-19所示。在直线段AB上，小环的加速度为g；在圆弧段BCE上，小环的切向加速度a??gcos?。曲杆尺寸如图所示，试求小环在C、D两处的速度和加速度。
图5-19
在直线段AB
2 vB?02?2gRvB?2gR 圆弧段BCE
aτ?gcos? dvs?gcos dtRdvdss??gcos dsdtRdvsv?gcos dsRvssvdv?gcosds ?v?0R12s2(v?vB)?gRsin 2RB在C处
12π2(vC?vB)?gRsin 2222vC?vB?2gR?4gR
vC?2gR
- 3 -
aCτ?0 aCn2vC??4g R22aC?aC02?(4g)2?4g τ?aCn?在D处
123π2 (vD?vB)?gRsin24222vD?vB?2gR??(2?2)gR
2vD?(2?2)gR?1.848gR
aDτ?gcosaDn3π2??g 422vD??(2?2)g R22aD?aD(?τ?aDn?22)?(2?2)2g?6.5?42g?3.487g 2
v?4m/s，5-8 点M沿给定的抛物线y?0.2x2 运动（其中x、y均以m计）。在x = 5 m处，a??3m/s2。试求点在该位置时的加速度。
??0.4xx? ???0.4(x?2?x??) y?0.2x2 yyx?2?y?2 x????2y???x????y???2xxyxy?? aτ?v?2vv在x = 5 m处，v?4m/s，a??3m/s2。 v?即：
?2?(0.4?5?x?)2?4 x?2?3.2 x??3.2 yx??23.2 ????y???xxy??23.2???12 ?3 3.2?xy412???2??? (1) xy3.22??0.4(x??x??) yx由????0.4(3.2?5??) yx??1.28?2?? (2) yx ?联立(1)(2)求得
(???x123.2?2.56)5??2.939 2y?0.8296 ?a?
??2???2?3.054m/s2 xy- 4 -
5-9 点沿空间曲线运动，如图5-20所示，在点M处其速度为v?4i?3j，加速度a与速度v的夹角??30?，且a =10 m/s2。试计算轨迹在该点的曲率半径?和切向加速度a?。
图5-20
aτ?acos??10?cos30??53?8.66m/s2 an?asin??10?sin30??5m/s2
v2v252 ??an???5m ?an5
5-10 点沿螺旋线运动，其运动方程为：x?Rcos?t,y?Rsin?t,z?h?t/(2?)，式中，R、h、?均为常量。设t =0时 s0 = 0，试建立点沿轨迹运动的方程s = f (t)，并求点的速度、加速度的大小和曲率半径。
ds?(dx)2?(dy)2?(dz)2
? ?(?R?sin?t)2?(R?cos?t)2?(4π2R2?h2h?2)dt 2π?2πdt
s??t2π4π2R2?h2
??v?s?2π???R?2cos?t ay????0 ???R?2sinzax??xy?t az??4π2R2?h2
a?R?2 ??0 aτ?van?a?R?2
v2h2 ???R?an4π2R
5-11 点在平面上运动，其轨迹的参数方程为x?2sin(πt/3),y?4?4sin(πt/3)，设t =0时，s0=0；s的正方向相当于x增大方向。试求轨迹的直角坐标方程y?f(x)、点沿轨迹运动的方程s?s(t)、点的速度和切向加速度与时间的函数关系。
轨迹的直角坐标方程 x?2x?4 点沿轨迹运动的方程
ds?(dx)2?(dy)2?5dx?25ππtcosdt 33- 5 -