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重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷
2009 ~2010 学年 第二学期
⒈（9
分）设z?e，求
yx
?z?z及dz． 和?x?yy开课学院： 数理学院 课程号： 考试日期 2010年6月
y?z?z1解：dz?dx?dy?ex(?2dx?dy).
?x?yxx命题人： 名姓 密 号弊学作 绝 拒 、 考纪 严肃 级年信、 守 封 诚实 争、 平竞班、公业专 线 院学考试方式：
考试时间：120 分题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得 分 一、 填空题（每空3分，共15分）
⒈过点M（1，2，-3）且平行于直线
x?3?y13?z?15的直线方程为
x?1y?2z?31?3?5。
2．已知z?ln(x2y2)，则dz(1,1)?2dx?2dy。
⒊?级数?1n的和为1 。
n?124．设积分区域D是由曲线y?x,y?2x,y?1围成的区域，则
??2dxdy?1/2。
D⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为yx1?e3,y2?1，则该
微分方程为y???3y??0。
二、 计算题（共18分）
组2．（9分）求函数u?xyz在点(1,1,2)处沿从点(1,1,2)到点(2,4,3)的方
题人向导数。 ：
?u ?x?yz?u?xz?u ?y?z?xy
审题人
?u ：?x(1,1,2)?2?u?y(1,1,2)?2?u?z(1,1,2)?1
?? l??1,3,1?l?1?9?1?11 命cos??111cos??311cos??111 题时间 ：?u?ucos???u?u ?l??x?ycos???xcos? 11 ?2?11?2?3 11?1?11?9
11 教三、 计算题（共18分）
务处15 制1．（9分）求旋转抛物面z?x2?y2在点(?1,2,4)处的法线方程和切平面方程．
解：抛物面z?2x2?2y2的法向量为n??(?2x,?2y,1)，在点
(?1,1?2,54)处n?(2,?1,1)，
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152lny法线方程为 x?1y?2z?2??1?41. 切平面方程：8x?4y?4z?1?0。
3．（9分）利用格林公式计算曲线积分2??yL2dx?(x33?xy2?1)dy，其中L为正向圆周x2?y2?2x。
解：由格林公式????(x2?y2?y)dxdy???(x2?y2)dxdy?0
LDD?22cos??2用极坐标??r3drd???d?r3dr?8?cos4?d??8?3?1D4?2??2?32?. ???002
四、 计算题（共49分）
1．（9
分）求微分方程dyydx?2(lny?x)的通解。
dxdy?2(lny?x)2y??yx?2lnyy
即
dxdy?2yx?2lnyy
?2 x?e?2ydy(?2lny?ydyyedy?C)
?e?2lny(?lnyye2dy?C)?12lnyy2(?yy2dy?C)?1y2(2?ylnydy?C) ?1y2(?lnyd(y2)?C)
?1(y2lny?y2y22?C)?(lny?12?Cy2)
2．（9分），求过点(3,1,?2)且通过直线
x?4y?35?2?z1的平面方程。
解：由已知点A(3,1,?2),B(4,?3,0)在平面上，直线的方向向量为
?s?(5,2,1)
则AB?(1,?4,2)，所求平面的法向量为n??AB??s?(?8,9,22)
平面直线的方程为8(x?3)?9(y?1)?22(z?2)?0 即为8x?9y?22z?59?0
3．（9分）利用高斯公式计算曲面积分??(x?y)dxdy?(y?z)xdydz，
?其中?为柱面x2?y2?1及平面z?0,z?3所围成的空间闭区域?的整个边
界曲面的外侧。 解：??(x?y)dxdy?(y?z)xdydz????(y?z)dxdydz
??2?13????(?sin??z)?d?d?dz??d???d??(?sin??z)dz??9??0002
4．（9分）?求幂级数?n?(x?1)n的收敛域及和函数。
n?1 由 liman?1?limn?1x?1?x?1
n??ann??n 当x?1时收敛，即收敛域为：0?x?2 设和函数为：
??S(x)??n(x?1)n?(x?1)?n(x?1)n?1n?1n?1??(x?1)[?(x?1)n]?n?1 ?(x?1)[x?11?(x?1)]?
?(x?1)[x?12]??(x?1)1?x(2?x)2?x?1(2?x)25．（13分）设x?y?2z?1,求x2?y2?z2的极小值.
解:作拉格朗日函数F(x,y,z,?)?x2?y2?z2??(x?y?2z?1),令
Fx?2x???0,Fy?2y???0,Fz?2z?2??0,F??x?y?2z?1?0
得???13,驻点为(16,16,13),由题知函数在该点处取得极小,其极小值为16.
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