3.3 n 阶 行 列 式
教学目的：
1、 理解和掌握n阶行列式的定义和性质。
2、 能熟练地应用行列式的定义和性质来计算和证明有关的行列式。 教学内容：
1、 行列式的定义：
任意取n个数aij（i=1,2,…,n;j=1,2,…,n）,排成以下形式： a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n
(1)
……………. an1 an2 … ann.
2考察位于（1）的不 同的行与不同的列上的 n个元素的乘积。这种乘积可以写成下面的形式：
a1j1 a2j2 … anjn, （2） 这里下标j1,j2,...,jn是1，2，…，n这n个数码的一个排列。反过来，给了n个数码的任意一 个排列，我们也能得出这样的一个乘积。因此，一切位于（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积一共有n!个。
我们用符号?(j1 j2…jn)表示排列j1 j2…jn的序数。
a11a21 定义 用符号 ...an1a12a22...an2...a1n...a2n
........ann表示的 n阶行列式指的是n!项的代数和，这些项是一切可能的取自（1）的不同的行与不同的列上的n个元素的乘积a1j1 a2j2…anjn.项a1j1 a2j2…anjn符号为（-1） ,也就是说，当j1 j2…jn是偶排列时，这一项的符号为正，当j1 j2…jn是奇排列时，这一项的符号为负。
一个n阶行列式正是前面所说的二阶和三阶行列式的推广。特别，当n=1时，一阶行列式?a?就是数a.
例1 我们看一个四阶行列式
a0 D=0b00. 0h0cd0efg00根据定义，D是一个4！=24项的代数。然而在这个行列式里，除了acfh,bdeg,bcfg这四项外，其余的项都至含有一个因子0，因而等于0。与上面四项对应的排列依次是1234，1324，4321，4231。其中第一个和第三个是偶排列，第二个和第四个是奇排列。因此
D=acfh-adeh+bdeg-bcfg.
2、 转置行列式：
a11a21 设 D=...an1a12a22...an2...a1n...a2n..
........ann如果把D的行变为列，就得到一个新的行列式
a11a21D’=...an1a12a22...an2...a1n...a2n
........annD’叫做D的转置行列式。
引理 3.3.1 从n阶行列式的第i1,i2,…,in行和第j1,j2,...,jn列取出元素作乘积
ai1j1ai2j2…ainjn, (3)
这里i1i2…in和j1j2...jn都是1,2,…,n这n个数码的排列。那么这一项在行列式中的符号是（-1）
s?t,s=?( i1i2…in),t=?( j1j2...jn).
证 如果交换乘积（3）中某个因子的位置，那么（3）的元素的第一个下标和第二个下标所成的排列同时经过一次对换。假定经过这样一次对换后所得的两个反序分别为s’和t’，那么由定理3.2.2，s’-s和t’-t都是奇数。因为两个奇数的和是一个偶数，所以（s’+s）-(s+t)=(s’-s)+(t’-t)是一个偶数。因此s’+t’与s+t同时是偶数或同时是奇数，从而
（-1） =（-1）.
另一方面，由定理3.2.1，排列i1i2…in总可以经过若干次对换变为12…n.因此，经过若干次变换因子的次序，乘积（3）可以变为（4） a1k1a2k2…ankn,这里k1k2…kn是n个数码的一个排列。根据行列式的定义，乘积（4），因而乘积（3）的符号是（-1） 。然而?（12…n）=0.由上面的讨论可知（-1）
s?ts'?t's?t=（-1）
n(12...)?n(k1k2...kn)=（-1）
n(k1k2...kn)。
引理被证明。
现在设 a1k1a2k2…ankn是n阶行列式D的任意一项。这一项的元素位于D的不同的行和 不同的列，所以位于D的转置行列式D’的不同的行和不同的列，因而也是D’的一项。由引理3.3.1，这一项在D里和 在D’里的符号都 是（-1）。反过来，D’的任意一项也是D的一项，并且D中不同的两项显然也是D’中不同的两项。因为D与D’的项数都是n！，所以D与D’是带有相同符号的相同项的代数和，既D=D’。于是有 命题 3.3.2 行列式与它的转置行列式相等。
命题 3.3.3 交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号。 证 设给定行列式
n(k1k2...kn)a11.....ai1 D=.....aj1a12...a1n...............ai2...ain................ aj2...ajn...................an1an2...ann交换D的第I行与第j行得
a11a12...a1n......................aj1aj2...ajn D1=....................
ai1ai2...ain....................an1an2...ann(旁边的i和j表示行的序数)。
D的每一项可以写成
a1k1…aiki…a
jkj…ankn. (5)
因为这一项的元素位于D1的不同的行和不同的列，所以它也是D1的一项。反过来，D1的每一项也是D的一项，并且D的不同项对应着D1的不同项。因此D与D1含有相同的项。
D中的符号是（-1）
n(k1...ki...kj...kn)。然而在D1中，原行列式的第 i行变成第j行，第j行变
=（-1）
n(k1k2...kn)?1成第i行,而列的次序并没有改变。所以由引理3.3.1，并注意到?（1…j…i…n）是一奇数，（5）在D1中的符号是 （-1）
n(1..j...i...n)?n(k1k2...kn)?1
因此（5）在D和D1中的符号相反。所以D与D1的符号相反。
交换行列式两列的情形，可以利用命题3.3.2归结到交换两行的情形。
推论 3.3.4 如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零。
命题 3.3.5 把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数k，等于以数k乘这个行列式。
证 设把行列式D的第i行的元素ai1,ai2,…,ain乘以k而得到行列式D1。那么D1的第i行的元素是 kai1,kai2,…,kain.
D的每一项可以写作 a1j1…aiji…anjn. (6)
D1中对应的项可以写作 a1j1…（kaiji）…anjn= k a1j1…aiji…anjn. (7) (6)在 D中的符号与（7）在D1中的符号都是（-1）
n(j1j2...jn)。因此，D1=kD.
推论 3.3.6 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边。 推论 3.3.7 如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零。 推论 3.3.8 如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列式等于零。 证 设行列式D的第i行与第j行（i≠j）的对应元素成比例。那么这两行的对应元素只差同一个因子k，即 ai1=ka因此
j1,ai2=ka
j2,…,ain=kajn.
a11.....ai1D= .....aj1a12...a1na11....................ai2...ainkaj1............... = .....aj2...ajnaj1.....an1a12.....kaj2.....aj2.....an2...................a1n.....kajn..... ajn....................an1an2...ann.............ann由推论 3.3.6，可以把公因子k提到行列式符号的外边，于是得到一个有两行完全相同的行列式；由推论 3.3.4 ，这个行列式等于零。
命题 3.3.9 设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和：
a11..... D=bi1?ci1a12.....bi2?ci2.....an2.......a1n..........an1...bin?cin .............ann 那么D等于两个行列式D1与D2的和，其中D1的第i行的元素是bi1,bi2,…,bin,D2的第i行的元素是ci1,ci2,…,cin，而D1与D2的其它各行都和D的一样。
同样的性质对于列来说也成立。
（）
证 D的每一项可以写成 a1j1…(biji+ciji)…anjn的形式，它的符号是（—1）?j1j2…jn.去掉括弧，得a1j1…（bij1+cij1）…anjn=a1j1…biji…anjn+a1j1…ciji…anjn.
但一切项a1j1…biji…cnjn附以原有符号后的和等于行列式
a11a12...a1n....................D1= bi1bi2...bin ，
....................an1an2...ann
一切项a1j1…ciji…anjn附以原有符号后的和等于行列式
a11a12...a1n........................D2=ci1ci2...cin . ........................an1an2...ann因此 D=D1+D2.
命题 3.3.9 显然可以推广到第i行（列）的元素是m项的和的情形（m?2）.
命题 3.3.10 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变。
证 设给定行列式
a11a21 D= ...an1a12a22...an2...a1n...a2n , ........anna12......ai2?kaj2......aj2......an2...a1n...............ain?kajn............. ...ajn...............ann把D的第j行的元素乘以同一数k后，加到第i行(i?j)的对应元素上，我们得到行列式
a11......ai1?kaj1 D’= ......aj1......an1由命题 3.3.9 D’=D+D1 此处
a11.....kaj1 D1= .....aj1.....an1a12.....kaj2.....aj2.....an2...................a1n.....kajn..... . ajn.............annD1的第i行与第j列成比例；由推论 3.3.8 ， D1=0。所以D’=D. 我们给出两个利用行列式的性质来简化行列式计算的例子。
例 2 计算行列式
1?a12?a13?a1 D = 1?a1?a23 2?a2?a233?a2 3?a3根据命题3.3.10,从D的第二列和第三列的元素减去第一还不错的对应的元素(即把D的第一列的元素同乘以-1后加到第二列和第三列的对应元素上),得
1?a112 D = 1?a2 12 1?a312这个行列式有两列车员成比例,所以根据推论3.3.8, D=0.
例 3 计算n阶行列式
011?1101?110?1 D = 1?????111?0我们看到,D的每一列的元素的和都是n-1.把第二,第三,…,第n行都加到第一行上,得
n?1n?1n?1?n?11 D = 01?111110?1?????11?01?11 根据推论3.3.6,提出第一行的公因子n-1,得
101?110?1 D=( n - 1 ) 1?????111?0由于某种原因第二,第三,,第n行减去第一行,得
111???10?100?1 D= ( n - 1 ) 0???00000 ????1由行列式定义,易见后一行列式等于对角线上元素的乘积(-1)n-1.所以
D=(-1)n-1(n-1)