武 汉 大 学
2010~2011学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A卷）
科目： 数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：
?10一、（10分）设A?????4?1212??5?1??????1?3，x?1 ， 已知 A??12??????1???1?????8?3?7?5?1??3， ?2??A的三个特征值分别为：4.06,?0.03?0.5i , 求范数Ax条件数Cond(A)?
、谱半径?(A)及
二、（10分）用杜利特尔（Doolittle）分解算法求解方程 Ax?b，其中
?2?4 A??????611?152???3?????3 b?10 ?????6???3???三、（14分）设方程组
?11 ????2212?2??1?1???x1??1?????x?1 ?2?????x3????1??（1） 分别写出Jacobi迭代格式及 Gauss-Seidel迭代格式；
（2） 证明Jacobi迭代格式是收敛的，而Gauss-Seidel迭代格式发散。
四、（12分）已知 y?f(x) 的数据如下：
xi f(xi) f?(xi) 0 1 2 0 2 6 1 求f(x)的Hermite插值多项式H3(x)，并给出截断误差R(x)?f(x)?H3(x)。 五、（12分）试确定常数A，B，C及?（??0），使求积公式
?3?3f(x)dx?Af(??)?Bf(0)?Cf(?)
有尽可能高的代数精确度，并指出代数精确度是多少，该公式是否为高斯型求积公式？
六、（10分）在某个化学反应过程中，生成的沉淀物质量y（克）依赖于时间x（时）
的试验数据为
xi yi 1 0．8 2 1．5 3 1．8 4 2．0 已知经验公式的形式为 y?ax?bx2 ，试用最小二乘法求出 a，b(结果取四位小数)。
七、（12分）确定常数 a，b 的值，使积分
I(a,b)??1?1?ax?b?x?dx??22
取得最小值。
?dy?f(x,y)?dx??y(x)?y00?八、（10分）对于下面求解常微分方程初值问题 的单步法：
11?y?y?h(k?k2)n1?n?122? ?k1?f(xn,yn)?k?f(x?h,y?hk)nn1?2?确定此单步法的绝对稳定域。
九、（10分）设s是f(x)?0的m(m?2)重根，m为已知正整数。f(x)在s的附近有m阶连续导数。证明：当初值x0充分靠近 s时，改进的牛顿迭代格式 xk?1?xk?mf(xk)f?(xk) (k?0,?1, )二阶收敛于方程的根s。