第6章 整式的乘除
6.1整式的乘法与乘法公式
*6.1.1已知a1,a2,a3,···,a1996,a1997均为正数,又M＝(a1＋a2＋a3＋···＋a1996)( a2＋a3＋···＋
a1997)
N＝(a1＋a2＋a3＋···＋a1996)( a2＋a3＋···＋a1997)则M与N的大小关系是( )
(A) M＝N
(B) M＜N
(C) M＞N
(D) 不确定
*6.1.2 在下表中，上面横行任意三个相邻小方格中的数(x≠0) 的平均数为1,下面横行任意x2?y2?z2?32四个相邻小方格中的数的平均数也为1,则的值是_______.
yz?16－ 7 x y x 1.5
**6.1.3 (1) 若a＝(2＋1)×(2＋1)×(2＋1)×(2＋1)×(2＋1)×(2＋1)×(2＋1),则a－1996的末位数字是( ).
(A)0
(B)1
(C)7
(D)9
2
1994
2
4
8
16
32
64
－ .5 9－x (2) 已知m＝1996＋1995×1996＋1995×1996 ＋···＋1995×1996＝1996
1996
＋1995×1996
1995
,n则m与n满足的关系是( )
(B) m ＝ n ＋ 1996 (C) m＝n (D) m＝n－1996
(A)m＝n ＋ 1995
*6.1.4 设P＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4),Q＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)，则P－Q的结果是( ).
(A) 20x ＋50x (B) 2x ＋5x (C) 2x ＋ 100x (D) 以上答案都不对 *6.1.5 已知x＋ax＋bx＋cx＋d＝(x－1)(x＋2)(x＋4)，则a＋b＋c＋d＝_________. *6.1.6 设f＝mx＋4x－7,g＝－x＋5n.若fg中不含x的项，并且x项的系数是－13,则当x＝－5时，fg的值为_________.
*6.1.7 计算:
(1) (a＋b＋c)(－a＋b＋c)(a－b＋c)(a＋b－c);
(2) (a－b＋c＋d)＋(a＋b－c＋d)＋(a－b＋c＋d)＋(－a＋b＋c＋d); (3)(a＋b)(a－b)(a－ab＋b)(a＋ab＋b);
1
2
2
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
4
3
2
2
3
3
4
a2a2a2222
(4)(a＋2b)(a－2ab＋4b)－(＋ab＋4b)( －ab＋4b)( －4b).
4442
2
22
**6.1.8 计算:(b＋c－2a)＋(c＋a－2b)－3(b＋c－2a)(c＋a－2b)(a ＋b－2c).
*6.1.9对于一个立方体，用三个与各面平行的平面把每个面都分成了4个矩形，如图所示，证明:其中黑色矩形的面积和与灰色矩形的面积和相等.
3
3
*6.1.10 设n是正整数，a、b、c是有理数，对所有整数m,代数式求证: n一定是1、2、3或6.
13
m＋am2＋bm＋c都是整数，n 2
6.2 整式的除法
*6.2.1计算(2x－7x＋16x－15x＋15) ＋(x－2x＋3)，所得商式、余式用 Q(x)、R(x) 表示，则下列叙述正确的是( )
(A) Q(x) ＝2x－3x＋4,R(x) ＝2x＋3 (B) Q(x) ＝2x－3x ＋4x＋2,R(x) ＝3 (C) Q(x) ＝2＋3x－4x,R(x) ＝2＋3x (D) 以上答案都不对
*6.2.2 求多项式2x＋3x－2x－48除以x－2 的商式和余式.
*6.2.3 已知x＝－3，求2x－5x－10x＋15x＋20的值.
*6.2.4 已知关于x的三次四项式x－ax－1003x＋b能被x－999x＋1994整除，则b－6a的值等于( ).
(A) 6
(B) 7
3
2
3
2
2
4
3
2
4
3
22
3
2
24
3
2
2
(C) 8 (D) 9
*6.2.5 已知多项式x＋ax＋bx＋c含有因式x＋1和x－1,且被x－2除余数为3,那么a＝___,b＝____,c＝_________.
**6.2.6 已知a、b、c 为实数，且多项式x＋ax＋bx＋c能够被x＋3x－4整除. (1) 求4a＋c的值. (2) 求 2a－2b－c的值.
(3) 若a、b、c为整数，且c≥a＞1,试确定a、b、c的值.
*6.2.7 已知关于x的多项式被x＋2除的余数为2,而被3x－2整除，求这个多项式被(3x－2)(x＋2) 除的余式.
★6.2.8 试求a24?a20?3a16?5a12?a8?2a4?1被a?1除的余式.
3
3
2
2
6.3 整式的恒等变形
★6.3.1 已知x2?x?1?0，则x8?7x4?11的值为 . ★★6.3.2 已知a?b?2c=1，a2?b2?8c2?6c?5，那么ab?bc?ca的值是 . ★★6.3.3 设a、b、c是不全等的任意实数，若x?a2?bc，y?b2?ca，z?c2?ab，则x、
y、z
（ ）
（A）都不小于0 （B）都不大于0 （C）至少有一个小于0 （D）至少有一个大于0
★★6.3.4 已知x-y=a，z-y=10，则代数式x2+y2+z2-xy-yz-zx的最小值为（ ） （A）75 （B）80 （C）100 （D）105
★★6.3.5 已知a+b=1，a2+b2=2，那么a7+b7的值等于 . ★★6.3.6 已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406，试求
199(x+y)+6xy-17(a+b)的值. 2 ★★6.3.7 若a、b、c满足a+b+c=1，a2+b2+c2=2，a3+b3+c3=3，则a4+b4+c4= ★★6.3.8 证明：
(a+c)+(c+a)+(a+b)-3(b+c)(c+a)(a+b)=2(a3+b3+c3-3abc).
★★6.3.9 已知a+b+c=abc，试证明：
a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-b2)(1-a2)=4abc.
333★★6.3.10 证明：
(a2+b2+c2)(ab+bc+ca)=a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)+abc(a+b+c)
333★★6.3.11 （1）下面是一本速算书中介绍的求个位数是5的两位数的平方的方法：先求出十位数字和它的后继数（1）的后继数是2，2的后继数是3，以此类推）的积，再将25添在后面，例
2
如求75，先算出7?856，则752=5625.请你说明，用这种方法计算结果正确的理由.
（2）你能用类似的方法速算13′17，52′58，84′86一类题目吗？把你发现的规律说一说，并说明这个方法正确的理由.
4