专题02 数的整除性
阅读与思考
设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称b整除a，记作b|a，又称b为a的约数， 而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征：
①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a；
③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)；
⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质
设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c；
②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a；
④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a；
⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c．
例题与求解
【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除．
(“五羊杯”竞赛试题)
解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求．
【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数；
②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中 ( ) A．只有①正确 B．只有②正确 C．①，②都正确 D．①，②都不正确
(江苏省竞赛试题)
解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
【例3】已知整数13ab456能被198整除，求a，b的值．
(江苏省竞赛试题)
解题思想：198=2×9×11，整数13ab456能被9，11整除，运用整除的相关特性建立a，b的等式，求出a，b的值．
【例4】已知a，b，c都是整数，当代数式7a＋2b＋3c的值能被13整除时，那么代数式5a＋7b－22c的值是否一定能被13整除，为什么？
(“华罗庚金杯”邀请赛试题)
解题思想：先把5a＋7b－22c构造成均能被13整除的两个代数式的和，再进行判断．
【例5】如果将正整数M放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M为m的“魔术数”(例如：把86放在415左侧，得到86 415能被7整除，所以称86为415的魔术数)，求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，…，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，…，an中都至少有一个为m的“魔术数”．
(2013年全国初中数学竞赛试题)
解题思想：不妨设ai?7ki?t(i=1，2，3，…，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一个为m的“魔术数”．根据题中条件，利用ai10?m(k是m的位数)被7除所得余数，分析i的取值．
k
【例6】一只青蛙，位于数轴上的点ak，跳动一次后到达ak?1，已知ak，ak?1满足|ak?1－ak|=1，我们把青蛙从a1开始，经n－1次跳动的位置依次记作An：a1，a2，a3，…，an．
⑴ 写出一个A5，使其a1?a5?0，且a1＋a2＋a3＋a4＋a5>0； ⑵ 若a1=13，a2000=2 012，求a1000的值；
⑶ 对于整数n(n≥2)，如果存在一个An能同时满足如下两个条件：①a1=0；②a1＋a2＋a3＋…＋an=0．求整数n(n≥2)被4除的余数，并说理理由．
(2013年“创新杯”邀请赛试题)
解题思想：⑴a1?a5?0．即从原点出发，经过4次跳动后回到原点，这就只能两次向右，两次向左．为保证a1＋a2＋a3＋a4＋a5>0．只需将“向右”安排在前即可．
⑵若a1=13，a2000=2 012，从a1经过1 999步到a2000．不妨设向右跳了x步，向左跳了y步，则
?x?y?1999?x?1999，解得可见，它一直向右跳，没有向左跳． ???13?x?y?2012?y?0⑶设An同时满足两个条件：①a1=0；②a1＋a2＋a3＋…＋an=0．由于a1=0，故从原点出发，经过(k－1)步到达ak，假定这(k－1)步中，向右跳了xk步，向左跳了yk步，于是ak=xk－yk，xk＋yk=k－1，则a1＋a2＋a3＋…＋an=0＋(x2?y2)＋(x3?y3)＋…(xn?yn)=2(x1＋x2＋…＋xn)－[(x2?y2)＋(x3?y3)＋…＋(xn?yn)]=2(x2＋x3＋…＋xn)－
n?n?1?．由于a1＋a2＋a3＋…＋an=0，所以2n(n－1)=4(x2＋x3＋…＋xn)．即4|n(n－1)．
能力训练
A级
1．某班学生不到50人，在一次测验中，有
111的学生得优，的学生得良，的学生得及格，则732有________人不及格．
2．从1到10 000这1万个自然数中，有_______个数能被5或能被7整除．
(上海市竞赛试题)
3．一个五位数3ab98能被11与9整除，这个五位数是________． 4．在小于1 997的自然数中，是3的倍数而不是5的倍数的数的个数是( A．532 B．665 C．133 D．798 5．能整除任意三个连续整数之和的最大整数是( ) A．1 B．2 C．3 D．6
)
(江苏省竞赛试题)
6．用数字1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的三位数中，是9的倍数的数有( A．12个 B．18个 C．20个 D．30个
)
(“希望杯”邀请赛试题)
7．五位数abcde是9的倍数，其中abcd是4的倍数，那么abcde的最小值为多少？
(黄冈市竞赛试题)
8．1，2，3，4，5，6每个使用一次组成一个六位数字abcdef，使得三位数abc，bcd，cde，def能依次被4，5，3，11整除，求这个六位数．
(上海市竞赛试题)
9．173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的这3个数字的和是多少？