祁东二中高三文科复习学案 zengxiangjun oyzxj@126.com
第十一讲 不等式
第3课：二元一次不等式组与简单的线性规划问题
一．课标要求
1、教学目标：①能够熟练判断二元一次不等式所表示的平面区域；
②能熟练运用平面区域表示二元一次不等式组 ③掌握几种常见的目标函数的线性规划问题。
2、教学重点：①灵活运用二元一次不等式（组）来表示平面区域，掌握线性规划的图解法
②如何将实际问题转化为线性规划问题并准确求得线性规划问题的最优解
二．要点精讲
（1）二元一次不等式（组）表示的平面区域
引入：在平面直角坐标系中，x?y?1?0表
x?y?1?0呢？
直线定界，特殊点定域
（2）有关概念
引例：设z?2x?y，式中变量x,y满?x?4y??3?足条件?3x?5y?25，求z的最大值和最
?x?1?小值。
由图象可知，当直线l经过点A(5,2)y
x?1 C
A x?4y?3?0
B
时，对应的t最大，
当直线l经过点B(1,1)时，对应的t最小，所以，zmax?2?5?2?12，
zmin?2?1?1?3。
3x?5y?25?0
O x
①线性约束条件：由条件列出的一次不等式组。由于都是关于x,y的一次不等式，所以又称为线性约束条件。
②目标函数：由条件列出的函数表达式。由于z?2x?y是x,y的一次解析式，所以 又叫线性目标函数。
③可行解：由线性约束条件得到的平面区域中的每一个点(x,y)
④可行域：由线性约束条件得到的平面区域中的所有点构成的集合。 ⑤最优解：在可行域中使目标函数取得最值的解
⑥线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 【课前预习】
1.（09安徽卷文3）不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B. C. D.
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2、若点（1，3）和（-4，-2）在直线2x+y+m=0的两侧，则m的取值范围是（ ）
A.m＜-5或m＞10 B.m=-5或m=10 C.-5＜m＜10 D.-5≤m≤10 ?x?03. （08年安徽11） 若A为不等式组??y?0表示的平面区域，则当a??y?x?2从－2连续变化到1时，动直线x?y?a 扫过A中的那部分区域
的面积为 ( )A．
34 B．1 C．
74 D．5
【注】安徽理科题是填空题：求出扫过A中的那部分区域的面积。
?x?y?34 （09天津卷理2文2）设变量x，y满足约束条件：??x?y??1.则目标
??2x?y?3函数z=2x+3y的最小值为 （A）6 （B）7 （C）8 （D）23 5.已知点A（1，-1），B（5，-3），C（4，-5），则表示△ABC的边界及其内部的约束条件是 .
三．典例解析
C
题型1. 求约束条件及平面区域的面积
?x?y?5?0A
例1.不等式组??x?y?0表示的平面区域的面积为________
??x?0B
【名师指引】准确无误作出平面区域是解这类题的关键. 题型2.线性规划问题
?x?y?2?0例2. 已知??x?y?4?0，求：（1）z?x2?y2?10y?25的最小值;（2）z?2y?1的??2x?y?5?0x?1
范围．【解题思路】分别联想距离公式和斜率公式求解
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例3.已知变量x,y
?x?2y?3?0满足的约束条件为??x?3y?3?0.若目标函数
?y?1?0?z=ax+y(其中a＞0)仅在点
（3，0）处取得最大值，求a的取值范围.(若有无穷多个点（x,y）可使目标函数取到最大值则a的值等于多少？
题型3：线性规划问题的实际应用
例4．(2007·山东文19)（本小题满分12分） 本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
y
500
400
300
M l 200
100
0 100 200 300 x
【课外作业】
1.（2008·福建理，8）若实数x、y满足?值范围是( )
A.(0,1) B.?0,1?
?x?y?1?0?x?0，则
yx的取
C.(1,+∞) D.?1,???
?2x?y?4,?2、 (09宁夏海南文理6)设x,y满足?x?y?1,则z?x?y
?x?2y?2,?第 3 页 共 4 页
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（A）有最小值2，最大值3 （B）有最小值2，无最大值 （C）有最大值3，无最小值 （D）既无最小值，也无最大值
?x?0?3. 已知x,y满足约束条件,?3x?4y?4则x2?y2?2x的最小值是（ ）
?y?0?224 A． B．2?1 C． D．1
525?x?y?2,?4. (2009·浙江文13)若实数x,y满足不等式组?2x?y?4,则2x?3y的最小值
?x?y?0,?是 ．
3.某家具公司制作木质的书桌和椅子两种家具，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8 000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1 300个工作时.又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，怎样安排生产能获得最大利润？
四、思维总结 （一）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤： 1.作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；
azaz2.移：由z?ax?by变形为y??x?所以z的最值可以看成是求y??x?在轴上
bbbbz的截距的最值，将直线ax?by?0平移，在可行域中观察使最大（最小）时所经过的点。
b3.求：最后求得目标函数的最大值及最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大者和最少值.
4.答：写出最后结论
（二）利用线性规划研究实际问题的解题思路：
首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.
然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得 最值的解.最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际 情况求得最优解.
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