习题解析
5-1 设闭环系统稳定，闭环传递函数为?(s)，试根据频率特性的定义证明：系统输入信号为余弦函数r(t)?Acos(?t??)时，系统的稳态输出为
css(t)?A|?(j?)|cos[?t?????(j?)]。
证明：根据三角定理，输入信号可表示为 r(t)?Asin(?t???90?，
css(t)?A|?(j?)|sin[?t?????(j?)?90?]， 根据频率特性的定义，有
css(t)?A|?(j?)|cos[?t?????(j?)]。 根据三角定理，得证：
5-2 若系统的单位阶跃响应
c(t)?1?1.8e?4t?0.8e?9t，
试确定系统的频率特性。
解：先计算系统的传递函数
3636136，，； G(j?)?G(s)?22(4?j?)(9?j?)s?13s?36ss?13s?3636??，。 |G(j?)|??G(j?)??arctan?arctan(16??2)1/2(81??2)1/24936?(t)?7.2(e?4t?e?9t)；G(s)?L[g(t)]?2或：g(t)?c；
s?13s?36C(s)?5-3 设系统如图5-10所示，试确定输入信号
r(t)?sin(t?30?)?cos(2t?45?) R(s) E(s) 1 C(s) s +1 _ 作用下，系统的稳态误差ess(t)。
s?1图5-10 系统方框图 解：?e(s)?； r(t)?sin(t?30?)?cos(2t?45?)； s?2|?e(j)|?0.6325，??(j)?45??26.6??18.4?； |?e(j2)|?0.7906，??(j2)?63.4??45??18.4?；
答案：ess(t)?0.6325sin(t?48.4?)?0.7906cos(2t?26.6?)。
5-4 典型二阶系统的开环传递函数
2?nG(s)?，
s(s?2??n)当取r(t)?2sint时，系统的稳态输出为
css(t)?2sin(t?45?)，
试确定系统参数?n和?。
2?n解：?(s)?2； 2s?2??ns??n2?n2??n2|?(j)|??1?2?????1； ??(j)??arctan??45?，；nn22221/22[(?n?1)?4??n]?n?1答案：?n?2?2?1.848，??0.653。
5-5 已知系统开环传递函数
37
G(s)?解：
ω |G(jω)|
0 ∞
1/τ A1
K(?s?1)，K,?,T?0， 2s(Ts?1)试分析并绘制??T和T??情况下的概略幅相曲线。
τ > T (τT)-1/2
A2 -180°+φm
T > τ
(τT)-1/2 A2 -180°+φm
1/T A3
∞ 0
0 ∞
1/T A3
1/τ A1
∞ 0
∠G(jω) -180° -180°+φ1 -180°+φ1 -180° -180° -180°+φ1 -180°+φ1 -180°
其中
A1?K2?3(T2??2)?1/2；A2?K??T；A3?KT(T2??2)1/2；
?1?45??arctan(T/?)；?m?arctan[0.5(??T)(?T)?1/2]；
Im 0+ ∞ Re 0 τ > T 图5-11 习题5-5概略幅相曲线
Im 0 0+ ∞ Re T > τ 5-6 已知系统开环传递函数
G(s)?1，
sv(s?1)(s?2)试分别绘制v?1,2,3,4时的概略开环幅相曲线。
解：|G(j0)|??，?G(j0)??v?90?；|G(j?)|?0，?G(j?)??(v?2)?90?；
|G(j?)|???v(1??2)?1/2(4??2)?1/2和?G(j?)??v?90??arctan??arctan0.5?都是递减函数。所有幅相曲线的终止相角均小于起始相角180°，以?(v?2)?90?趋于原点。
2v = 1 v = 2 v = 3 v = 4 图5-12 习题5-6概略幅相曲线
当v?1时，有?g?2，|G(j?g)|?0.204，与负实轴有交点(?0.204,j0)。 5-7 已知系统开环传递函数
K(?T2s?1)，K,T1,T2?0，
s(T1s?1)?当取??1时，?G(j?)??180，|G(j?)|?0.5。当输入为单位速度信号时，系统的稳态误差为 0.1。试写出G(j?)的表达式。
G(s)?解：先根据题中条件，确定传递函数中的参数，
K?10；|G(j)|?
K1?T221?T21?0.5；?G(j)??arctanT2?90??arctanT1??180?；
38
arctan[(T1?T2)/(1?T1T2)]?90?，T1T2?1；10(1?T22)1/2?0.5(1?T12)1/2； T1?20，T2?0.05。
10(1?j0.05?)所求的表达式为 。 G(j?)?j?(1?j20?)5-8 已知系统开环传递函数
10， 2s(2s?1)(s?0.5s?1)试分别计算??0.5和??2时，开环频率特性的幅值|G(j?)|和相位?G(j?)。
解：??0.5时，
10|G(j0.5)|??17.89，?G(j0.5)??90??45??18.4???153.4?；
0.5?1.414?0.791??2时，
10|G(j2)|??0.383，?G(j2)??90??76.0??180??18.4???327.6?。
2?4.123?3.162G(s)?5-9 已知系统开环传递函数
G(s)?10，
s(s?1)(0.25s2?1)Im 试绘制系统的概略开环幅相曲线。
解：lim??G(j?)??90??arctan???153.4?
??2??2? ??2lim??G(j?)??90??arctan??180???333.4?
0 ∞ -90°
1
8.165 -135°
2 4
∞ 0.350
-153.4°→-333.4° -346.0°
∞
0 -360°
???Rem ω |G(jω)| ∠G(jω)
??2? ??0? 5-10 已知系统开环传递函数
图5-13 习题5-9概略幅相曲线 G(s)?s?1，
1?1??1?s?s?1??s2?s?1?3?2??9?要求选择频率点，列表计算对应的幅值与相位，绘制对数幅频特性曲线和相频特性曲线。
解：(过于烦琐，绘制渐近幅频特性) 0.25
|G(jω)| ∞ 4.105 ∠G(jω) -90° -88.0° ω 2 3 |G(jω)| 0.911 0.585 ∠G(jω) -121.8° -164.7°
ω
0
0.5 1
2.199 1.403 -87.2° -92.1° 10.37 0.012
∞ 0
-20
-90° -180° -270° 0 1 2 3 10.37 -60 ω -180° -270°
图5-14 习题5-10对数频率曲线 5-11 绘制下列开环传递函数的对数幅频渐近特性曲线：
(1)G(s)?2；
(2s?1)(8s?1)
(2)G(s)?200；
s2(s?1)(10s?1) 39
10(s2/400?s/10?1)8(s/0.1?1)(3)G(s)?； (4)G(s)?。
s(s?1)(s/0.1?1)s(s2?s?1)(s/2?1)解：(1) ?1?0.125，?2?0.5； (2) ?1?0.1，?2?1；
(3) ?1?0.1，?2?1，?3?2； (4) ?1?0.1，?2?1，?3?20；
(2) 0.1 1 -40 66db -60 -80 ω 6db (1) 0 0.125 -20 -20 38db 0 1 -40 -40 2 ?c 0.5 ω (3) 0.1 40db -20 0.1 (4) -60 -40 ?c ω ?c 1 -60 20 -20 ω ?c 图5-15 习题5-11对数幅频渐近特性曲线
5-12 已知最小相位系统的对数幅频渐近特性如下，试确定系统的开环传递函数。 40 0 -20
db -20 100 -20 ω
db -40 20 -20 0 10 -20 40 20 0 db 40 1 10 -20 ω
100 -40 ω
(a) (b) 图5-16 习题5-12对数幅频渐近特性曲线
(c) 解：(a) G(s)? G(s)?(b) G(s)? G(s)?K(T2s?1)???K?100，T2?0.1；
；(2?1000,2?33)；
T3?0.01T1?100(T1s?1)(T3s?1)?1?1?2100(0.1s?1)。
(100s?1)(0.01s?1)K(T1s?1)K?100T1?0.316??10010；,，； 22??10T?0.00316s(T2s?1)12100(0.316s?1)。 2s(0.00316s?1)Ks2K?10，T1?1；
(c) G(s)?22；
(T1s?2?T1s?1)(T2s?1)??0.05T2?0.110s2 G(s)?2。
(s?0.1s?1)(0.1s?1)5-13 试用Nyquist稳定判据判断题5-5、5-6系统的稳定性。
解：题5-5中，P?0；??T时，Nyquist曲线ΓG不包围临界点，系统稳定；
Nyquist曲线ΓG包围临界点，系统不稳定。 T??时，
题5-6中，P?0；v?1时，G(j?)与负实轴相交于(?1/3,0)处，Nyquist曲线ΓG不包围临
界点，系统稳定；
v?2,3,4时， Nyquist曲线ΓG包围临界点，系统不稳定。
5-14 已知下列系统的开环传递函数(所有参数均大于0)
40
(1) G(s)?(3) G(s)?(5) G(s)?(7) G(s)?(9) G(s)?K ；
(T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)
(2) G(s)?(4) G(s)?(6) G(s)?K ；
s(T1s?1)(T2s?1)K(T1s?1) ；
s2(T2s?1)K ；
s2(Ts?1)
K； s3
K(T1s?1)(T2s?1)；
s3K(T5s?1)(T6s?1)K ； (8) G(s)?；
s(T1s?1)(T2s?1)(T3s?1)(T4s?1)Ts?1?K；
?Ts?1
(10) G(s)?K。
s(Ts?1)及其对应的幅相曲线分别如下图所示，应用Nyquist稳定判据判断各系统的稳定性，若闭环系统不稳定指出系统在 S 平面右半部的闭环极点数。
(6) (7) (8) 图5-17 习题5-14幅相曲线
-1 | (1) j | -1 j | -1 (2) -1 | j -1 | (9) (3) j -1 | (10) j | -1 (4) j -1 | j -1 | (5) j j -1 | j 解：(1)P?0，R??2，Z?2； 不稳定；
(3)P?0，R?2，Z?2； 不稳定； (5)P?0，R??2，Z?2； 不稳定； (7)P?0，R?0；
稳定； 不稳定；
(9)P?1，R?0，Z?1；
(2)P?0，R?0； (4)P?0，R?0； (6)P?0，R?0； (8)P?1，R?1；
稳定； 稳定； 稳定； 稳定；
(10)P?1，R??1，Z?2； 不稳定。
注：第(6)小题的幅相曲线未包围临界点。应用劳斯稳定判据能够说明闭环系统是稳定的：图中G(j?)曲线与负实轴交点处?1?(T1T2)?1/2，且|G(j?1)|?1，得到KT1T2(T1?T2)?1。
5-15 试用Nyquist稳定判据判断题5-9系统的稳定性。 解：P?0，R??2，闭环系统不稳定。 5-16 已知系统开环传递函数
G(s)?(1)T?2时，K值的范围； (2)K?10时，T值的范围；
K，K,T?0，
s(Ts?1)(s?1)试用Nyquist稳定判据判断闭环系统稳定条件：
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