2007浙江省第六届数学分析竞赛试题
一．计算题（每小题12分，计60分） 1． 求?x59dx
x?1解 原式?25?xd5x?1?525?(t?1)dt?22?13?t?t???C 5?3?2x?1?152?5?x?1?1?C?x?2??????515?3?(1?x)?(1?2x)sinx11x12x55x?1?C
2． 求limx?0
解 令f(x)?(1?x)x，则 原式?limxsinxlimf(x)?f(2x)x?lim?f?(x)?2f?(2x)?
x?0x?0x?0?lim?f?(x)?2f?(2x)??limf(x)limx?0x?0f?(x)f(x)x?0?2limf(2x)limx?0f?(2x)f(2x)
x?0?elimf?(x)f(x)x?0?2elimf?(2x)f(2x)11?xx?0?elimf?(x)f(x)x?0?2elimt?0f?(t)f(t)
??elimf?(x)f(x)x?0??elimbx?0limx?(1?x)ln(1?x)x2x?02??elim?ln(1?x)2xx?0?e2
3． 求p的值，使?(x?p)2007e(x?p)dx?0
a解 情形1当a?b时，p的值可以任意取． 情形２当a?b时，作变换t?x?p，则 原式左边?p??b?a2?bab?pa?pt2007edt，因被积函数是奇函数，故当a?p??b?p时，即
2t2时，?(x?p)2007e(x?p)dx?0．
?x24． 设?x?(??,??),f??(x)?0,且0?f(x)?1?e解（１）由0?f(x)?1?e?x2，求f(x)的表达式．
?1知，f(x)有界．
（２）下证f?(x)?0,?x?(??,??)，假如存在x0?(??,?)使得f?(x0)?0，则
f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)?122f??(?)(x?x0)?f(x0)?f(x0)(x?x0)
若f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)???(x???)，与f(x)有界矛盾．
1
若f?(x0)?0，则f(x)?f(x0)?f(x0)(x?x0)???(x???)，与f(x)有界也矛盾． 因此f?(x)?0,?x?(??,??)，f(x)?C,?x?(??,??)
（３）由0?f(0)?1?e0?0知，f(0)?0，因此f(x)?0,?x?(??,??) 5． 计算??(x?y)dS,其中S为圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)．
S2?x?2cosu?解 因圆柱面x2?y2?4,(0?z?1)的参数方程为?y?2sinu，故
?z?v?dS?2222?y?z4?，F?xuxv?yuyv?zuzv?0，EG?Fdudv，其中E?xuuu2G?xv?yv?zv?1，于是
122???(xS2?y)dS?2?dv0?(4cos??22u?2sinu)du
???2???(4cosu?2sinu)du?16?cosudu?8?
02二．（20分） 设 un?1? vn?1n?112??23?1n?214?15?26????113n?2?13n?1?23n
??3n
求 （1）
u10v10 （2）limun
n??解 （１）因un?1?12???11????1?????， 3n?2n???， ?1vn?1?12???11???1????3n?2n1故un?vn，因此
u10v10?1．
2（２）limun?limvn?n??n???1?x01dx??ln(1?x)?0?ln3
2
三．（20分）
有一张边长为4?的正方行纸（如图），C、D分别为AA?、BB?的中点，E为DB?的中点。现将纸卷成圆柱形，使A与A?重合，B与B?重合，并将圆柱垂直放在xoy平面上，且B与原点O重合，D落在y轴正向上。求：
2
（1）通过C,E两点的直线绕z轴旋转所得的旋转面方程；
（2）此旋转曲面、xoy平面和过A点垂直于Z轴的平面所围成的立体体积。 解 B(0,0,，0)C(0,4,4?)，D(0,4,0)，E(2,2,0)， 通过C(0,4,4?)和E(2,2,0)两点的直线l方程为
x?2?2?y?22?z4?
即
x?2?z2?,y?2?z2?
（1）通过C,E两点的直线l绕z轴旋转所得的旋转面方程为
z?z???22x?y??2??2????
2??2????22即
x?y?8?22z222?
（2）此旋转曲面z2?2?2(x2?y2?8)、xoy平面z?0和过A点垂直于z轴的平面
z?4?所围成的立体体积为
4?4?V????dxdydz??dz?02??x?y?2dxdy?z22?02??8?z2????8?dz 2?2??3?z?32?2???8z??32??2?6??03?4?2?128?322
四．（20分）求函数f(x,y,z)?最大值和最小值。
x?yzx?y?z222在D?(x,y,z)1?x?y?z?4的
?222?解 令x??cos?,y??cos?sin?,z??sin?sin?, 则
x?yzx?y?z2222f(x,y,z)??1?(12sin2??1)sin?，
2其中??[0,?]，??[??,?]．
因?32?g(?)?12sin2??1??12，且?32,?12分别是g(?)?3212sin2??1最小值和最12大值，故f(x,y,z)?x?yzx?y?z2222最小值和最大值分别是1?(?)??,1?0?1．
3
n 五．（15分）求 limn???k?1n?1?knCkn
n证 记xn?1n2!n2?k?1n?1?knCnk，则因
0?xn?1n?2!n2?3!n(n?1)1n?4n2?4!n(n?1)(n?2)1n)?4n?0
2???1n
??(n?2)?(1?故
nlimn???k?1n?1?knCkn?0
六．（15分）证明：cos 证 只要证
2x??x?21?x,x?[0,42?4]
?该不等式等价于
x?cos22x?2?1?x,x?(0,42?4)
2xcos22x?cos22x?1,x?(0,2?4)
即
2xcos22x?sin22x,x?(0,2?4)
令t?2x，则只要证
sintcostt?,t?(0,?2)
为此，作f(t)?sintcost?t,t?[0,?2cost?1cost3)，则f?(t)?2?1,t?[0,?2)，
cost?1cost3因此f?(t)?2?1?cost1cost3?1?1cost?1?0,t?[0,?2)，
于是，当0?t??2时，f(t)?sintcost?t?f(0)?0． 证完
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