高等数学复习公式
?F?F(x,y,u,v)?0?(F,G)?u隐函数方程组： J????GG(x,y,u,v)?0?(u,v)??u?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????xJ?(x,v)?xJ?(u,x)?u1?(F,G)?v1?(F,G)??? ????yJ?(y,v)?yJ?(u,y)多元函数的极值及其求法：
?F?v?Fu?GGu?vFvGv
设fx(x0,y0)?fy(x0,y0)?0，令：fxx(x0,y0)?A, fxy(x0,y0)?B, fyy(x0,y0)?C??A?0,(x0,y0)为极大值2??AC?B?0时，?A?0,(x0,y0)为极小值??2则：值?AC?B?0时， 无极?AC?B2?0时, 不确定???重积分及其应用：
??f(x,y)dxdy???f(rcos?,rsin?)rdrd?DD?曲面z?f(x,y)的面积A???D??z???z??1?????dxdy????x???y?22平面薄片的重心：x?Mx?M??x?(x,y)d?D???(x,y)d?DD, y?MyM???y?(x,y)d?D???(x,y)d?DD
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix???y2?(x,y)d?, 对于y轴Iy???x2?(x,y)d?平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{Fx,Fy,Fz}，其中：Fx?f??D?(x,y)xd?(x?y?a)2222， Fy?f??3D?(x,y)yd?(x?y?a)2222， Fz??fa??3D?(x,y)xd?(x?y?a)22322
函数展开成幂级数：
f??(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n??2!n!f(n?1)(?) 余项：Rn?(x?x0)n?1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn?0n??(n?1)!f??(0)2f(n)(0)nx0?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f?(0)x?x???x??2!n!第 6 页 共 8 页
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一些函数展开成幂级数：
m(m?1)2m(m?1)?(m?n?1)nx???x?? (?1?x?1)2!n! 2n?1x3x5xsinx?x?????(?1)n?1?? (???x???)3!5!(2n?1)!(1?x)m?1?mx?
欧拉公式：
?eix?e?ixcosx???2 eix?cosx?isinx 或?ix?ix?sinx?e?e?2?
三角级数：
a0?f(t)?A0??Ansin(n?t??n)???(ancosnx?bnsinnx)2n?1n?1其中，a0?aA0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，?t?x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[??,?]上的积分＝0。
微分方程的相关概念：
?
一阶微分方程：y??f(x,y) 或 P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：?g(y)dy??f(x)dx 得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。dyy?f(x,y)??(x,y)，即写成的函数，解法： dxxydydududxduy设u?，则?u?x，u???(u)，??分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx?(u)?ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：
dy1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce?P(x)dx?P(x)dx当Q(x)?0时，为非齐次方程，y?(?Q(x)e?dx?C)e?
dy2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x)yn，(n?0,1)dx全微分方程：
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如果P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：?u?udu(x,y)?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)
?x?y?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次d2ydy?P(x)?Q(x)y?f(x)， 2dxdxf(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
(*)y???py??qy?0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(?)r2?pr?q?0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y??,y?,y的系数；2、求出(?)式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p2?4q?0) 两个相等实根(p?4q?0) 一对共轭复根(p?4q?0) 22(*)式的通解 y?c1er1x?c2er2x y?(c1?c2x)er1x y?e?x(c1cos?x?c2sin?x) r1???i?，r2???i?4q?p2 p???，??22二阶常系数非齐次线性微分方程
y???py??qy?f(x)，p,q为常数f(x)?e?xPm(x)型，?为常数；f(x)?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型
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