4.3空间直角坐标系
4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系 空间两点间的距离公式
预习课本P134～137，思考并完成以下问题 1．在空间直角坐标系中怎样确定空间中任一点的坐标？ 2．空间中线段的中点坐标公式是什么？ 3．空间中两点间的距离公式是什么？ [新知初探]
1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、
y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz.
(2)相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
3．空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫点M的横坐标，y叫点M的纵坐标，z叫点M的竖坐标．
[点睛] 空间直角坐标系的画法
(1)x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．
1
(2)y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长相等，x轴上的单位长则等于y轴单位长的.
24．空间两点间的距离公式
(1)点P(x，y，z)到坐标原点O(0,0,0)的距离 |OP|＝ x＋y＋z.
- 1 -
2
2
2
(2)任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离 |P1P2|＝
x1－x2
2＋y1－y2
2＋z1－z2
2.
[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．
(2)空间中点坐标公式：设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点P?
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式( )
(2)空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a,0，c)的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A．关于x轴对称 C．关于坐标原点对称
B．关于xOy平面对称 D．以上都不对
?x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2?.
?22??2
解析：选A 点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称．
3．空间两点P1(1,2,3)，P2(3,2,1)之间的距离为________． 解析：|P1P2|＝答案：22
空间中点的坐标的求法
[典例] 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD1
上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标．
4
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，而
－
2
＋0＋2＝22.
22
E为DD1的中点，故其坐标为?0，0，?.
由F作FM⊥AD，FN⊥DC，垂足分别为M，N， 11
由平面几何知识知FM＝，FN＝，
22
??
1?2?
- 2 -
?11?故F点坐标为?，，0?. ?22?
点G在y轴上，其x，z坐标均为0， 3?3?又GD＝，故G点坐标为?0，，0?. 4?4?由H作HK⊥CG于K，由于H为C1G的中点． 117
故HK＝，CK＝，∴DK＝，
288
?71?故H点坐标为?0，，?.
?82?
(1)建立空间直角坐标系时，要考虑如何建系才能使点的坐标简单、便于计算，一般是要使尽量多的点落在坐标轴上． (2)对于长方体或正方体，一般取相邻的三条棱所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系；确定点的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点坐标的关键． [活学活用]
如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，|AB|＝12，|AD|＝8，|AA′|＝5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体个顶点的坐标．
解：因为|AB|＝12，|AD|＝8，|AA′|＝5，点A为坐标原点，
且分各
点B，D，A′分别在x轴、y轴和z轴上，所以它们的坐标分别为A(0,0,0)，B(12,0,0)，D(0,8,0)，
A′(0,0,5)．点C，B′，D′分别在xOy平面、xOz平面、yOz平面内，坐标分别为C(12,8,0)，B′(12,0,5)，D′(0,8,5)．点C′在三条坐标轴上的射影分别是B，D，A′，故点C′的坐标
为(12,8,5)．
空间两点间距离公式及应用
[典例] 已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求： (1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．
[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度|MN|＝
- 3 -
－
2
＋－
2
＋－
2
＝26，
所以线段MN的长度为26.
(2)因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，所以有下面等式成立：
x－
＝
2
＋
2
y－
＋
2
＋z－
2
2
2
x－y－＋z－，
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0. 利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为： [活学活用]
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1
的中点，求|MN|.
解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4)． 因为M为BC1的中点， 所以由中点公式得M?
?4＋0，0＋4，0＋4?，
又N为A1B1?即M(2,2,2)，
22??2
的中点，所以N(2,0,4)．
所以由两点间的距离公式得 |MN|＝
空间中点的对称
[典例] (1)点A(1,2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是________． (2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，
－
2＋－
2＋－
2＝22.
- 4 -
使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．
∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．
(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面
yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1) 在空间直角坐标系中，点P(x，y，z)关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点如下： (1)关于坐标原点的对称点为P1(－x，－y，－z)； (2)关于横轴(x轴)的对称点为P2(x，－y，－z)； (3)关于纵轴(y轴)的对称点为P3(－x，y，－z)； (4)关于竖轴(z轴)的对称点为P4(－x，－y，z)； (5)关于xOy坐标平面的对称点为P5(x，y，－z)； (6)关于yOz坐标平面的对称点为P6(－x，y，z)； (7)关于zOx坐标平面的对称点为P7(x，－y，z)． 其中的记忆方法为“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于横轴(x轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数． [活学活用]
在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )
A．(4,0,6) C．(－4,0，－6)
B．(－4,7，－6) D．(－4,7,0)
解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．
层级一 学业水平达标
1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( ) A.a＋b C．|b|
2
2
B．|a| D．|c|
- 5 -