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课 题：47二倍角的正弦、余弦、正切（3）
教学目的：
要求学生能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力 教学重点：二倍角公式的应用
教学难点：灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式 授课类型：新授课 课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 二倍角公式: sin2??2sin?cos?；(S2?) cos2??cos??sin?；(C2?) tan2??2tan?1?tan2222?；(T2?) cos2??2cos??1 ??) cos2??1?2sin?(C2cos22??1?cos2?2,sin2??1?cos2?2 二、讲解新课： 1．积化和差公式的推导 sin(? + ?) + sin(? ? ?) = 2sin?cos? ? sin?cos? =
12[sin(? + ?) + sin(? ? ?)]
sin(? + ?) ? sin(? ? ?) = 2cos?sin? ? cos?sin? =
1212[sin(? + ?) ? sin(? ? ?)]
cos(? + ?) + cos(? ? ?) = 2cos?cos? ? cos?cos? =
[cos(? + ?) + cos(? ? ?)]
cos(? + ?) ? cos(? ? ?) = ? 2sin?sin?
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? sin?sin? = ?
12[cos(? + ?) ? cos(? ? ?)]
2．和差化积公式的推导
若令? + ? = ?，? ? ? = φ，则??sin???2cos???2?12[sin(???2???????2，??????22??????∴sin??sin??2sin cos22?????? sin??sin??2cos sin22??????cos cos??cos??2cos 22??????sin cos??cos???2sin 22)?sin(???2???2 代入得：
12(sin??sin?)
)]?3．半角公式 sin?2??1?cos?2,cos?2??1?cos?2,tan?2??1?cos?1?cos? tan?2?sin?1?cos??1?cos?sin? 2 证：1?在 cos2??1?2sin cos??1?2sin2? 中，以?代2?，2??22 ∴sin?2?21?cos?2?代? 即得： 2?在 cos2??2cos??1 中，以?代2?， cos??2cos2?2?1 ∴cos22?2?21?cos?2代? 即得： 3?以上结果相除得：tan?2?21?cos?1?cos?
4?
1?cos?sin?1?(1?2sin?2sin2sin??2)?sincossin?cos?2?tan? ?22?2coscos2?2?2?2?1?2?tan? ?22sin?1?cos?1?2cos?23eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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4．万能公式
2tansin??1?tan?221?tan,cos??1?tan2sin?sin22??2,22tan?222tantan??1?tan?22?22?2
?2证：1?sin??sin?1cos?22?22?cos?sin?cos?22cos?22?1?tan1?tan1?tan2tan?22
2?cos??cos?1cos?sin?2?2?2??2?2 ?2222 3?tan??sin?cos?2sin?cos2?22?22??sin?2?1?tan?2 三、讲解范例： 例1已知 解：∵2sin??cos?sin??3cos?2sin??cos???5，求3cos 2? + 4sin 2? 的值 ??5 ∴cos ? ? 0 (否则 2 = ? 5 ) sin??3cos?2tan??1??5 解之得：tan ? = 2 ∴tan??3 ∴原式??23(1?tan1?tan22?)??4?2tan?1?tan2??3(1?2)1?21322?4?2?21?2172?75 例2已知????，?????0，tan? =?2tan?1?tan2，tan? =?，求2? + ?
tan2?? 解：
???34 ∴tan(2???)?3?2tan2??tan?1?tan2?tan??2??1
又∵tan2? < 0，tan? < 0 ∴?2??2?，?7?4???0
∴??2????2? ∴2? + ? = 例3已知sin? ? cos? =
12
和tan?的值
，????2?，求tan?23eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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解：∵sin? ? cos? =
122tan?221?tan?2?1?tan2?2?1 ?22 ∴
1?tan?2?3?0
2 化简得：tan?22?2?4tan∴tan??4?16?122??2?7
∵????2? ∴即tan 2tantan??1?tan?22?2??2?? ∴tan?2?0
?2??2?7 ?2?2(?2?1?(?2?127)7)2??4?27?10?471?2?75?27?4?37 例4已知cos? ? cos ? = 解：∵cos? ? cos ? = sin? ? sin ? =? ∵sin???21213，sin? ? sin? = ????sinsin，∴?2sin，∴?2cos???23???，求sin(? + ?)的值 ?122???2322???2 ① 13??? ② 32?0 ∴?tan?? ∴tan???2 2tan???2????23
2?1?32?12 91343
∴sin(???)?1?tan3
2例5求证：sin3?sin? + cos3?cos? = cos2?
22
证：左边 = (sin3?sin?)sin? + (cos3?cos?)cos?
= ?
12(cos4? ? cos2?)sin? +
12
122
(cos4? + cos2?)cos?
122
= ? =
212cos4?sin? +
2
12cos2?sin? +
12cos4?cos? +
2
12cos2?cos?
2
cos4?cos2? + cos2? =
12cos2?(cos4? + 1)
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=
12cos2?2cos2? = cos2? = 右边
23
∴原式得证 四、课堂练习：
22
1已知α、β为锐角，且3sinα＋2sinβ＝1，3sin2α－2sin2β＝0 ?求证：α＋2β＝?
2证法1：由已知得3sinα＝cos2β ①?
3sin2α＝2sin2β ②?
cos2?sin2?sin(?cos(2
?2?2?)?tan(?2?)①÷②得tanα＝?2?2?2?) ∵α、β为锐角? ?∴0＜β＜，0＜2β＜π，－π＜－2β＜0，? 2∴－?2＜?2?2－2β＜?2 ?2∴α＝－2β，α＋2β＝ 证法2：由已知可得：? 23sinα＝cos2β? 3sin2α＝2sin2β? ∴cos（α＋2β）＝cosα·cos2β－sinα·sin2β? ＝cosα·3sinα－sinα·2232sin2α? ＝3sinαcosα－sinα·3sinαcosα＝0? 3?又由α＋2β∈（0，）? 2∴α＋2β＝
?2?
2??3sin证法3：由已知可得???3sin32①
2② ??2sin2???cos2?∴sin（α＋2β）＝sinαcos2β＋cosαsin2β ＝sinα·3sinα＋
22
cosα·sin2α?
2
＝3sinα（sinα＋cosα）＝3sinα?
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