高中奥林匹克物理竞赛解题方法
六、递推法
方法简介
递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式. 具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解. 用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.
塞题精析
例1 质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；?；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程.
解析 根据递推法的思想，从特殊到一般找到规律，然后求解. （1）物质在某时刻t末的速度为vt?at
2t末的速度为v2t?vt?2at,所以v2t?at?2at 3t末的速度为v2t?v2t?3at?at?2at?3at ??
则nt末的速度为vnt?v(n?1)t?nat
?at?2at?3at???(n?1)at?nat?at(1?2?3???n) ?at?12(n?1)n?12n(n?1)at
112n(n?1)(2n?1)at.
2 （2）同理：可推得nt内通过的总路程s?例2 小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小
1n(n?2)，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s）
2
解析 小球从h0高处落地时，速率v0?2gh0?60m/s
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第一次跳起时和又落地时的速率v1?v0/2 第二次跳起时和又落地时的速率v2?v0/22
…第m次跳起时和又落地时的速率vm?v0/2m 每次跳起的高度依次h1?
v12通过的总路程?s?h0?2h1?2h2???2hm??
?h0?2h0n2
?h0?经过的总时间为?t?t0?t1?t2???tm??
??v0gv0g?2v1g???12vmg??
??例3 A、B、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正 三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v，A犬想追捕B犬，B 犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调 整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长 时间可捕捉到猎物？
解析 由题意可知，由题意可知，三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图6—1所示.所以要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.
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2g?h0n2,h2?v222g?h0n4，
…(1?1n2?1n224????531n2m?2)??2h0n?12?h0?n?1n?1
h0?300m[1?2?1m???2?()??]nnv0n?1()gn?13v0g?18s
设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、?、an，显然当an→0时三只猎犬相遇.
a1?a?AA1?BB1cos60??a?a2?a1?a3?a2??an?a?n?32v?t3232v?t?a?2?v?t?a?3?3232v?t,v?t,32v?t,
因为a?n?即n?t?t32v?t?0, 所以t?2a3v
此题还可用对称法，在非惯性参考系中求解.
例4 一列进站后的重载列车，车头与各节车厢的质量相等，均为m，若一次直接起动，车头的牵引力能带动30节车厢，那么，利用倒退起动，该车头能起动多少节同样质量的车厢？
解析 若一次直接起动，车头的牵引力需克服摩擦力做功，使各节车厢动能都增加，若利用倒退起动，则车头的牵引力需克服摩擦力做的总功不变，但各节车厢起动的动能则不同.
原来挂钩之间是张紧的，倒退后挂钩间存在△s的宽松距离，设火车的牵引力为F，则有：
车头起动时，有(F??mg)?s??12mv1
2拉第一节车厢时：(m?m)v1?mv1 故有v1?214v1?21F(??g)?s 2m12?2mv2?2 (F?2?mg)?s?12? ?2mv12??2mv2 拉第二节车厢时：(m?2m)v2??故同样可得：v2249v2?22F5(??g)?s 3m3??
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?2?推理可得 vnnn?1m32n?1?2?0可得:F?由vn?mg
3(F?2n?1?g)?s
另由题意知F?31?mg,得n?46
因此该车头倒退起动时，能起动45节相同质量的车厢.
例5 有n块质量均为m，厚度为d的相同砖块，平放在水平地面上，现将它们一块一块地叠放起来，如图6—2所示，人至少做多少功？
解析 将平放在水平地面上的砖一块一块地叠放起来，每次克服重 力做的功不同，因此需一次一次地计算递推出通式计算.
将第2块砖平放在第一块砖上人至少需克服重力做功为W2?mgd 将第3、4、?、n块砖依次叠放起来，人克服重力至少所需做的功 分别为
W3?mg2dW4?mg3dW5?mg4d?Wn?mg(n?1)d
所以将n块砖叠放起来，至少做的总功为 W=W1+W2+W3+?+Wn
?mgd?mg2d?mg3d???mg(n?1)d
?mgd?n(n?1)2
例6 如图6—3所示，有六个完全相同的长条薄片AiBi(i?1、 2、?、6）依次架在水平碗口上，一端搁在碗口，另一端架在另一 薄片的正中位置（不计薄片的质量）. 将质量为m的质点置于A1A6 的中点处，试求：A1B1薄片对A6B6的压力.
解析 本题共有六个物体，通过观察会发现，A1B1、A2B2、?、 A5B5的受力情况完全相同，因此将A1B1、A2B2、?A5B5作为一类， 对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.
以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图6—3甲所示，第i个 薄片受到前一个薄片向上的支持力Ni、碗边向上的支持力和后一个薄片 向下的压力Ni+1. 选碗边B点为轴，根据力矩平衡有
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Ni?L?Ni?1?L2,得Ni?12?1Ni?12
所以N1?12N2?15N3???()N6 ① 22再以A6B6为研究对象，受力情况如图6—3乙所示，A6B6受到薄片 A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力和后一个薄片A1B1向下的压力
N1、质点向下的压力mg. 选B6点为轴，根据力矩平衡有
N1?L2?mg?34L?N6?L
mg42
由①、②联立，解得 N1?
mg42.
所以，A1B1薄片对A6B6的压力为
例7 用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥，已知每一积木块长度为L，横截面是边长为h(h?L/4)的正方形，要求此桥具有最大的跨度（即桥孔底宽），计算跨度与桥孔高度的比值.
解析 为了使搭成的单孔桥平衡，桥孔两侧应有相同的积木块，从上往下计算，使积木块均能保证平衡，要满足合力矩为零，平衡时，每块积木块都有最大伸出量，则单孔桥就有最大跨度，又由于每块积木块都有厚度，所以最大跨度与桥孔高度存在一比值.
将从上到下的积木块依次计为1、2、?、n，显然第1块相对第2块的最大伸出量为
?x1?L2
第2块相对第3块的最大伸出量为?x2（如图6—4所示），则
G??x2?(?x2?L4?L2??x2)?GL2?2L2?3
同理可得第3块的最大伸出量?x3???
最后归纳得出?xn?9
L2?n
所以总跨度k?2??xn?11.32h
n?1
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