2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
x????limx1[t(e?1)?t]dtx2ln(1?1xx21x1)xx1?lim(e?1)?t2dt??tdt1x?limx2(e?1)?xx???x???1,x则limx2(e?1)?x令u?x???
eu?1?u?limu?0?u2eu?11?lim?u?0?2u2（16）【答案】 因为
x2?y2y??1?y?，①
得到x?1,x??1
22x?2y(y?)2?y2y????y??， 2?y2(1)y??(1)??y??(1)2?2?2?y(?1)y??(?1)??y??(?1)?y??(1)?2?0y(1)?1，。 2?y??(?1)?2?0y(?1)?1所以x?1时，取极大值y(1)。
x??1时，取极小值y(?1)。
由①可知，
(y2?1)dy?(1?x2)dxy3x3?y?x??C33，
x322y3?y?x??。 因为y(2)?0，所以C?，3333所以x?1时，取极大值y(1)?1。
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
x??1时，取极小值y(?1)?0。
（17）【答案】
??20d???2021?cos?sin???d??cos???sin?2cos???d???sin??d?1cos??sin?21?cos?2???d??dcos???0cos??sin??11?cos?12???2d?(?cos??1??0cos??sin??1?cos????2d??(2?1)0?cos??sin?31?????2d??203??4?21cos??d??)
（18）【答案】
?E?f?(excosy)excosy ?x?2E?f??(excosy)e2xcos2y?f?(excosy)excosy2?x?E?f?(excosy)ex(?siny)?y?2E?f??(excosy)e2xsin2y?f?(excosy)ex(?cosy)2?y?2E?2Ex2xx2x????f(ecosy)e?(4E?ecosy)e?x2?y2f??(excosy)?4f(excosy)?excosy令ecosy?u， 则f??(u)?4f(u)?u， 故f(u)?C1e2u?C2e?2u?由f(0)?0,f?(0)?0,得
x
u,(C1,C2为任意常数) 4e2ue?2uuf(u)???
161642014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
（19）【答案】
证明：1）因为0?g(x)?1，所以有定积分比较定理可知，
?0dt??axxag(t)dt??1dt，即
ax0??g(t)dt?x?a。
ax2）令
F(x)??f(t)g(t)dt??axxx??ag(t)dt?af(t)dt
F(a)?0F?(x)?f(x)g(x)?f[a??ag(t)dt]g(x)?g(x){f(x)?f[a??ag(t)dt]}由1）可知所以a?xx?xag(t)dt?x?a，
?xag(t)dt?x。
由f(x)是单调递增，可知
f(x)?f[a??ag(t)dt]?0
由因为0?g(x)?1，所以F?(x)?0，F(x)单调递增，所以F(b)?F(a)?0，得证。 （20）【答案】
因为
xx,x?[0,1]1?xxxf2(x)?1?x?x1?2x1?1?x?f1(x)?xfn(x)?1?nx所以
111?nx?1S??dxn01?nx111??(1?)dxn01?nx111?(x?ln(1?nx))0 nn11?(1?ln(1?n))nn2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二
所以
1ln(1?n)limn?(1?)n??nnln(1?n)?1?lim?0
n??n（21）【答案】
??k1?2?k2?6?k3?1???（22）【答案】①??1,2,3,1?T②B??2k1?12k2?3??3k1?13k2?4?k1k2（23）【答案】利用相似对角化的充要条件证明。
2k3?1?3k?k1,k2,k3?R?3?1?k?3?