江苏省海安高级中学 南京外国语学校 南京市金陵中学
2018 届高三年级第四次模拟考试
数学试题
数学 I
参考公式：球的体积公式： V ? 4
πr 3 ，其中 r 为球的半径；
3
?，x 的方差 s? 1 n 2
样本数据 x ，x ，2
1 n ??x ? x ,其中 x ? ?
? x ．
1 2 n
n i ?1 n i ?1
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．
S←1
1. 已知复数 z＝1＋2i（i 为虚数单位），则 z2 的值为 ▲
．
I←2
2. 某射击运动员在五次射击中，分别打出了 9，8，10，8，x 环的成绩，且
While S≤100 这组数据的平均数为 9，则这组数据的方差是 ▲ ．
I←I＋2 3. 袋中装有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球
S←S×I End While 从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ▲ ．
Print I 4. 执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．
5．设集合 A＝[－1，0]， B＝{y|y＝ 0.5x
2
?1
，x∈R}，则 A∪B＝
▲
．
（第 4 题图）
6. 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 x2
－ y2
＝1(b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为 3 ，则此
b2
双曲线的准线方程为 ▲ ．
7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为 36，则这个球的体积为
▲ ．
8．若函数 f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|< π2)
在一个周期内的图象如图所示，M，N 分别是这段图象的最高点和最低点，横坐标分别为 1，7．记点 P(2，f(2))，点 Q(5，f(5))，则→·→的值为 ▲ ．MP NQ y
N
（第 8 题图）
三校联考 数学（理科 3 页，文科 2 页）
9. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，
c＝ 2，则∠C 的值为 ▲ ．
10. 已知函数 f(x)＝ln|x|－x－2，则不等式 f(2a－1)－f(a)＜0 中 a 的取值范围是 ▲ ．
11. 已知 S
为数列{a }的前 n 项和，若 a ＝2，且 S ＝2S ，设
b ＝log a ，则 1 1 1
n n 1
n＋1 n
n 2 n
b＋ b＋…＋ 1b2 2b3 b10b11
的值是 ▲ ．
12. 已知关于 x 的方程 x2－6x＋(a－2)|x－3|－2a＋9＝0 有两个不同的实数根，则实数 a 的取值范围
是 ▲
．
13．已知正数 x，y，z 满足 x2＋y2＋z2＝1，则 S ＝1 ＋z ＋1 z的最小值是 ▲ ．
xy
14．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y2＝2px 的上半支(y≥0）与圆(x－2)2＋y2＝3 相交于 A，B 两
点，直线 y＝x 恰好经过线段 AB 的中点，则 p 的值为 ▲
．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分 14 分）
已知向量 m＝(cosx，－sinx)，n＝(cosx，sinx－2 3cosx)，x∈R．设 f(x)＝m·n． (1) 求函数 f(x)的单调递增区间；
(2) 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．若 f(A)＝1，a＝2 3，c＝2，求△ABC 的面积．
16．（本小题满分 14 分）
如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，点 M，N 分别为 A1B 和 B1C1 的中点．
(1) 求证：MN∥平面 A1ACC1；
A1
(2) 求证：平面 A1BC⊥平面 MAC．
C1
B1
N
M
A
B
C
（第 16 题图）
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17．（本小题满分 14 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，设椭圆 C：x2＋y2＝1 (a＞b＞0)的离心率为 3，F 1 ，F 2 分别是椭圆的 a2 b2 2
左、右焦点，过 F2 作两条互相垂直的直线 l1，l2，直线 l1 与 C 交于 A，B 两点，直线 l2 与 C 交于 D， E 两点，且△AF1F2 的周长是 4＋2 3． (1) 求椭圆 C 的方程；
(2) 当 AB＝32DE
时，求△ODE 的面积（O 为坐标原点）．
18．（本小题满分 16 分）
如图，OM，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点， A 为道路 OM 上一游客休息区．已知 tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q 到直线 OM，ON 的距离分别 为 3(百米) 6 10 百米)．现新修一条自 A 经过 Q 的有轨观光直路并延伸至道路 ON 于点 B，并在 B 处
， 5 ( 修建一游客休息区．
(1) 求有轨观光直路 AB 的长；
(2) 已知在景点 Q 的正北方 6 百米的 P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为 9 分钟．表
演时，喷泉喷洒区域以 P 为圆心，r 为半径变化，且 t 分钟时， r ? 2
(百米)（0≤t≤9，0＜a
＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车 S（大小忽略不计）正从休息区 B 沿(1)中的轨道 BA 以 2(百米/分钟)的速度开往休息区 A，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．
N
O
A
M
（第 18 题）
三校联考 数学（理科 3 页，文科 2 页） 19. （本小题满分 16 分）
已知 f(x)＝lnx－ax3
，g(x)＝
aex
e
．
(1) 若直线 y＝x 与 y＝g(x)的图象相切，求实数 a 的值；
(2) 若存在 x0∈[1，e]，使 f(x0)＞(1－3a)x0＋1 成立，求实数 a 的取值范围；
(3) 是否存在实数 a，使 f(x)＋g(x)≤0 对任意 x∈(0，2)恒成立?证明你的结论．
20. (本小题满分 16 分)
已知各项均为正数的数列{a }满足，a ＝1，a ＝λan2
＋2an＋μ，n∈N*．
n 1 n 1＋
an＋1
（1） 当λ＝2，μ＝0 时，求证：数列{an}为等比数列； （2） 若数列{an}是等差数列，求λ＋μ的值；
（3） 若λ＝1，μ为正常数，无穷项等比数列{bn}满足 a1≤bn≤an．求{bn}的通项公式．第 2 页 201805
三校联考 数学（理科 3 页，文科 2 页）第 3 页201805