一,完成以下各题(每小题7分,共28分) ⒈若u(x,y)?ecosy?sin(xy),求ux(0,0),uy(0,0).
zx⒉若函数z?z(x,y)满足方程x?y?z?e,求⒊计算累次积分
?z?z,. ?x?y?10dy?yey12?x4dx.
?sinx⒋求解一阶线性微分方程二.(10分)求曲线积分I?dydxL?ycosx?ey.
?x2??e?x?dx??xe?2y?dy,其中L为曲线y=siny
上由点O(0,0)到A(1,1)的弧段.
三.(10分)计算曲面积分I????yS?2?z2?dydz?yzdzdx?z?xx?y223?y2?dxdy,其中S为
22上半球面z?4?x?y与锥面z?所围区域的表面,取外侧.
?y???2y??3y?3x?1,?四. (10分)求解初值问题:?y(0)?1,y?(0)?3.
?3?五.(每小题5分,共10分)讨论下列广义积分的敛散性. ⑴?1??; ⑵dx,??0. ??01?xsinxx?dx1sinx六. (10分)求幂级数?n?1?x?1?n2nn?1的收敛半径,收敛区间和收敛域,并求其和函数.
七. (10分)吧函数f(x)?ln(5?x)展开成?x?2?的幂级数,并求其收敛域.
?八.(6分)研究级数?(?1)n?1nn?5n22的敛散性.
n九. (6分)设n是自然数,求证:方程x?nx?1?0存在唯一正实根xn;且当??1
??时,数项级数?xn收敛.
n?1一,完成以下各题 ⒊计算累次积分
101?y10dy?yey?x412?x4dx.
x2?x4解
?dy?ye2dx??dx?ye0041dy
??10y3x310e0?xdx?11?310xe3?x4dx
??121121e?x4dx??14?e??12?x410
??1?e?.
?ycosx?e?sinxdy⒋求解一阶线性微分方程
dx.
??cosxdxdy解 先解
dx?ycosx?0. 分离变量,得
dyy
令
lny??sinx?lCn
y?Ce?sixn.
?coxs?Cx(e)?sxiny?C(x)e?sixn?sinx. 则
y??C?(x)e?sixn
.?sinx代入原方程,得C?(x)e即
?cosx?C(x)ex??sinx?C(x)e?sinxcosx?e.
C?(x)?1,C(x?)C从而方程通解为
y?(x?C)e?sixny .y二.(10分)求曲线积分I???eL?x?dx??xe?2y?dy,
其中L为曲线y=sin?x2上由点O(0,0)到A(1,1)的弧段.
?P?QyyyP?e?x,Q?xe?2y,?e?解 ,?y?x故积分值和路径无关,从而 I?(1,1) ?10L1?L2?ey?x?dx??xe?2y?dy (0,0) (1,0) yL2 ??(e?x)dx?0?10(e?2y)dy?e?y12L1 .
三.(10分)计算曲面积分I????y?z2S?2?dydz?yzdzdx?z?x?y3222?dxdy,其中S为
上半球面z?4?x?y与锥面z?x?y?z?32222x?y所围区域的表面,取外侧.
4?x?y,x?y?2},则有高斯公式及对称性,
2222解 记??{(x,y,z):I?????z?x??y?dV?3???zdV????2?0d??2?20rdr?24?rr2zdz
21?2020d?1?0r?4?2r22?dr
2?2???214??(2?r)dr???2r?r?22???2?.
0?y???2y??3y?3x?1,?1四. (10分)求解初值问题:?
?y(0)?,y(0)?3.?3?解 齐次方程对应的特征方程为?2?2??3?0.特征根为?1??1,?2?3.
?x因此齐次方程的通解为 y?C1e?C2e.
3x 由于0不是特征方程的根,故设非齐次方程的特解为
y?ax?b,代入原方程,比较系数,得
?x?13.
a??1,b?13.即原方程的通解为y?C1e?x?C2e3x?C1??1,?C1?C2?0,由定解条件,得 ? ??
C?1.?C?3C?1?3,?2?12初值问题的解为
y??e?x?e3x?x?13.
五.(每小题5分,共10分)讨论下列广义积分的敛散性.
⑴
???0dx1?xsinx1; ⑵
?11?x?10sinxx?dx,??0 .??解 ⑴ 因为
1?xsinx,(x?0) 而无穷积分?011?xdx????1x1dx发散,由比较判别法,
无穷积分
???0dx1?xsinxsinxx?发散.
⑵ 因为lim1x??1x?0?0?lim10sinxxx?0?0?1,故?10sinxx?dx和?101x??1dx,??0同敛散.
10而当??1?1即??2时,?10xdx收敛;当??1?1即??2时,???111x??1dx发散.故
?sinxx???收敛,当0???2,dx?
发散,当??2.?n?1六. (10分)求幂级数
?n?1?x?1?n2n的收敛半径,收敛区间和收敛域,并求其和函数.
x?12?解
f(x)??n?1?x?1?n2nn?11?x?????2n?1n?21?1???n?1t??1?2?n?n11n?1?t
?
(x?1)f(x?)?n?1t0tn?n??g(t ) , g(t)??n?1n?1t?11?t ,因此
g(t)??11?tdt??ln1?t ,
(x?1)f(x?)?x?1ln?12 .?ln?2ln?x 3,从而
f(x)?12nln2?ln?3x12x?1an?1ann??由于an?,l?lim?,收敛半径为R=2,
收敛区间为?1?t?1,?1?x?12?1,即?1?x?3.即(－1,3).
又由于级数当x=－1收敛,当x=3时发散,故收敛区域为[－1,3).
七. (10分)吧函数
f(x)?ln(5?x)展开成
?x?2?的幂级数,并求其收敛域.
解 令
t?x5,则
f(x)?ln(?7x???2)x?2???ln7??ln1??7??n??ln?7t ln(1n)
?ln7??n?1(?1)n?1tn?ln7??n?1(?1)nn?1?(x?2)7n
其收敛域为?1?x?27??1,即n?5?x?9.
八.(6分)研究级数
?n?12(?1)n?5n22的敛散性.
解 因为lim?n?5n221nn???limn??1?5n2??1,而级数
?n?11n发散,故
??n?1n?5n22也发散,即级数
?(?1)n?1nn?5n2不绝对收敛.
但 limn??2n?5n22?lim1nn???1?5n2?0,又函数f(x)??x?5xn22单调下降,即
f(n)??n?5nn2关于n单调下降,于是由莱布尼兹判别法,级数
?(?1)n?1n?5n22收敛.因而级数
?(?1)n?1n?5n22条件收敛.
nx?nx?1?0存在唯一正实根xn;且当??1九. (6分)设n是自然数,求证:方程
?
时,数项级数
?n?1xn收敛.
n?证 记
f(x)?x?nx?1,则f(1)?n?0,f(0)??1?0.故由f(x)的连续性,必有
xn?(0,1),使f(xn)?0.又f?(x)?n(xn?1?1)?0,即f(x)严格单调,故根唯一.
又,由
f(xn)?x?nxn?1?0,得 nxn?1?x?1,nnnnxn?1n,xn??1n?.
当??1时,?n?收敛,故由比较判别法,?n?1?1?xn收敛.证毕.
?n?1