北京邮电大学2006 ——2007 学年第 一 学期
《复变函数》期末考试试题A卷答案
一 选择题
1、D， 2、A， 3、D， 4、A， 5、D， 6、A， 7、A 二 填空题
1、3?i4， 2、（2，-3，2）， 3、
2z2?1?z?36、e?2k??cosln3?isinln3?k是整数， 7、0 三 简答题 1、解：
u?x,y??x2?xy?y2ux?2x?y,uy?x?2y由ux?vy?2x?yv?2xy?y2?2?f?x??vx?2y?f??x?又由vx??uy?2y?x?f??x???xx???x2?f?2?C1?v?x,y??2xy?y22?x22?C1z??x?xy?y?i???y2?f?2x22???2xy?2?2?C1??又f?i???1?i故C11?2?f?z????i?i
2?1?2??z?22、解：
z?1， 4、2?i，、16?i， 5
z?0是二级极点??z2?sinz?cosz?zcosz?cosz?zsinz?Res?f?z?,0??lim??lim?lim?02z?0?zsinz?z?0z?02sinzcosz?sinz???
zk?k?k?0,k??1,?2,?是一级极点Res?f?z?,zk??limz?zkz?zk11?lim?zsinzz?zksinz?cosz?zzkcoszkk??1,?3、解：
函数f?z?的奇点为z1?1和z2?2,以z?1为中心解析的圆环域有两个：0?z?1?1和1?z?1??当0?z?1?1时，?11111nf?z???????????z?1?1?z2?zz?11??z?1?z?1n?0
当1?z?1??,有f?z??111111????????1?z2?zz?1?z?1??1z?1z?1n11?1z?1?11??1?1????????z?1z?1n?0?z?1?n?1?z?1?n?1四 证明题 1、证：
f?z??u2?v22?2f?z??2?uux?vvx??x?2222??fz?2u?vxx?uuxx?vvxx?x2?2222同理2f?z??2uy?vy?uuyy?vvyy?y由CR条件，知f??z??ux?ivy?vy?iuy故???1???2?
?222f??z??uz2?vy?uy?vy2及uxx?uyy?vxx?vyy?0将?1???2?得??2?2???x2??y2?2、证：
1?cos?ei??e?i??2cos??224dei?而d??i?ie22?2f?z?z?z?1?21f?z?z2?2z?1i?2?故fecosd???dz?dz 2??0z?1z?1?2?4iz2?iz??f?z?z2?2z?1z?0?f??0??2f?0??f??0??22?22??????fz?4fz??????????故??2f??0???f?e?cos?2?i?0?2?2d??2