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23n?11 求和：Sn?1?3x?5x?7x?????(2n?1)x解：由题可知，{(2n?1)x2………………………①
n?1n?1}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{x4n}的通项之积
设xSn?1x?3x?5x?7x?????(2n?1)x………………………. ② （设制错位） ①－②得 (1?x)Sn?1?2x?2x?2x?2x?????2x234n?13?(2n?1)xn （错位相减）
1?xn?1?(2n?1)xn 再利用等比数列的求和公式得：(1?x)Sn?1?2x?1?x(2n?1)xn?1?(2n?1)xn?(1?x) ∴ Sn? 2(1?x)2 求数列
2462n,2,3,???,n,???前n项的和. 22222n1解：由题可知，{n}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n}的通项之积
222462n设Sn??2?3?????n…………………………………①
222212462nSn?2?3?4?????n?1………………………………② （设制错位） 222221222222n①－②得(1?)Sn??2?3?4?????n?n?1 （错位相减）
222222212n ?2?n?1?n?1
22n?2 ∴ Sn?4?n?1
2
3 求证：Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn?(n?1)2
证明： 设Sn?Cn?3Cn?5Cn?????(2n?1)Cn………………………….. ① 把①式右边倒转过来
nn?110Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn?Cn （反序）
012n012nn 又由Cn?Cnmn?m可得
1n?1n?Cn…………..…….. ②
n?Cn)?2(n?1)?2n （反序相加）
Sn?(2n?1)Cn?(2n?1)Cn?????3Cn ①+②得 2Sn?(2n?2)(Cn?Cn?????Cn ∴ Sn?(n?1)?2
n010n?1 1
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4 求sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89的值
解：设S?sin1?sin2?sin3?????sin88?sin89…………. ①
将①式右边反序得
S?sin89?sin88?????sin3?sin2?sin1…………..② （反序） 又因为 sinx?cos(90?x),sinx?cosx?1
①+②得 （反序相加）
?222?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2?2S?(sin21??cos21?)?(sin22??cos22?)?????(sin289??cos289?)＝89
∴ S＝44.5
5.已知函数（1）证明：
；
（2）求的值.
解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，
两式相加得：
所以
6. 求数列的前n项和：1?1,.6
111?4,2?7,???,n?1?3n?2，… aaa111解：设Sn?(1?1)?(?4)?(2?7)?????(n?1?3n?2)
aaa将其每一项拆开再重新组合得
Sn?(1?111?2?????n?1)?(1?4?7?????3n?2) （分组） aaa(3n?1)n(3n?1)n当a＝1时，Sn?n?＝ （分组求和）
22 2
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1n(3n?1)na?a1?n(3n?1)na?当a?1时，Sn?＝ ?1a?1221?a1?7. 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.
解：设ak?k(k?1)(2k?1)?2k?3k?k ∴ Sn?32?k(k?1)(2k?1)＝?(2kk?1k?1nn3?3k2?k)
将其每一项拆开再重新组合得
Sn＝2?k?1nk?3?k??k （分组）
32k?1k?1nn＝2(1?2?????n)?3(1?2?????n)?(1?2?????n)
333222n2(n?1)2n(n?1)(2n?1)n(n?1)n(n?1)2(n?2)?? ＝ （分组求和） ＝ 2222 8. 求数列
11?2,12?31,???,1n?n?1,???的前n项和.
解：设an?n?n?11??n?1?n （裂项）
1n?n?1则 Sn?12?31?2????? （裂项求和）
＝(2?1)?(3?2)?????(n?1?n) ＝n?1?1 9. 在数列{an}中，an?解： ∵ an?212n，又bn?，求数列{bn}的前n项的和. ??????an?an?1n?1n?1n?112nn??????? n?1n?1n?12211 ∴ bn??8(?) （裂项）
nn?1nn?1?22∴ 数列{bn}的前n项和 Sn?8[(1?)?(12111111?)?(?)?????(?)] （裂项求和） 2334nn?1 3
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＝8(1?18n ) ＝
n?1n?1111cos1????????10. 求证： ??????2?cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1解：设S?111 ????????????cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1?∵?tan(n?1)??tann? （裂项） ??cosncos(n?1)111 （裂项求和） ????????????cos0cos1cos1cos2cos88cos891???????? ＝{(tan1?tan0)?(tan2?tan1)?(tan3?tan2)?[tan89?tan88]} ?sin1 ∴S?cos1?11??? ＝(tan89?tan0)＝?cot1＝2? ??sin1sin1sin1 ∴ 原等式成立
11. 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.
解：设Sn＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°
∵ cosn??cos(180?n) （找特殊性质项）
∴Sn＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···
+（cos89°+ cos91°）+ cos90° （合并求和）
＝ 0
12. 数列{an}：a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an，求S2002.
解：设S2002＝a1?a2?a3?????a2002
由a1?1,a2?3,a3?2,an?2?an?1?an可得
???a4??1,a5??3,a6??2,
a7?1,a8?3,a9?2,a10??1,a11??3,a12??2,
……
a6k?1?1,a6k?2?3,a6k?3?2,a6k?4??1,a6k?5??3,a6k?6??2
∵ a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4?a6k?5?a6k?6?0 （找特殊性质项） ∴ S2002＝a1?a2?a3?????a2002 （合并求和） ＝(a1?a2?a3????a6)?(a7?a8????a12)?????(a6k?1?a6k?2?????a6k?6)
4
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?????(a1993?a1994?????a1998)?a1999?a2000?a2001?a2002
＝a1999?a2000?a2001?a2002 ＝a6k?1?a6k?2?a6k?3?a6k?4 ＝5
13. 在各项均为正数的等比数列中，若a5a6?9,求log3a1?log3a2?????log3a10的值.
解：设Sn?log3a1?log3a2?????log3a10
由等比数列的性质 m?n?p?q?aman?apaq 和对数的运算性质 logaM?logaN?logaM?N 得
Sn?(log3a1?log3a10)?(log3a2?log3a9)?????(log3a5?log3a6) ＝(log3a1?a10)?(log3a2?a9)?????(log3a5?a6) ＝log39?log39?????log39 ＝10
5
（合并求和） （找特殊性质项）