阻尼振动与受迫振动实验论文
王&
（清华大学工程物理系&&&，中国，北京123456）
（收稿日期：2014-05-25）
摘 要 此次实验借助波尔振动仪研究阻尼振动和受迫振动的特性，通 过改变外激励的周期来改变受迫力频率来观察不同，并绘制幅频和 相频特性曲线。
关键词 振动 阻尼 外力 振幅 相位差
引 言 振动是自然界最普遍的运动形式之一，是物理量随时间做周期 性变化的运动。阻尼振动和受迫振动在物理和工程技术中得到广泛的重视。本实 验借助波尔振动仪研究机械阻尼振动和受迫振动的特性。 一 实验目的
1．观测阻尼振动，学习测量振动系统基本参数的方法； 2．研究受迫振动的幅频特性和相频特性，观察共振现象； 3．观测不同阻尼对受迫振动的影响。
二 实验原理
1.有粘滞阻尼的阻尼振动
弹簧和摆轮组成一振动系统，设 摆轮转动惯量： J
粘滞阻尼的阻尼力矩： 角速度dθ/dt与阻尼力矩系数γ的乘积 弹簧劲度系数为： k
弹簧的反抗力矩为： -kθ。
忽略弹簧的等效转动惯量，可得转角θ的运动方
d2?d?J2???k??0 (1) dtdt
记无阻尼时自由振动的固有角频率:ω0，其值为ω0=k/J ， 定义阻尼系数: β=γ/（2J），则上式可以化为：
d2?d??k??0 （2） 2?2?dtdt2 小阻尼即?2??0?0时，阻尼振动运动方程的解为
??t???iexp(??t)cos?2?0??2t??i （3）
?2??2， 由上式可知，阻尼振动角频率为?d??0阻尼振动周期为Td?2??d
2.周期外力矩作用下受迫振动的解
在周期外力矩Mcosωt激励下的运动方程和方程的通解分别为
d2?d??k??Mcos?t （4） J2??dtdt ??t???iexp???t?cos?2?0??2t??i??mcos??t??? （5）
? 这可以看作是状态（3）式的阻尼振动和频率同激励源频率的简谐振动的
叠加。
稳态解 ??t???mcos??t??? （6） 稳态解的振幅和相位差分别为
M/J ?m? （7）
2??02??2??4?2?2 ??arctan2?? （8） 22?0?? 其中，φ的取值范围为（0，π），反映摆轮振动总是滞后于激励源支座的 振动。
3.电机运动时的受迫振动运动方程和解
弹簧支座的偏转角的一阶近似式可以写成
r ??t???mcos?t=Rcoswt （9）
式中αm是摇杆摆幅。由于弹簧的支座在运动，运动支座是激励源。弹簧 总转角为????t?????mcos?t。于是在固定坐标系中摆轮转角θ的运 动方程为
d2?d??k????mcos?t??0 （10） J2??dtdt 也可以写成
d2?d??k??k?mcos?t （4’ J2??）
dtdt 于是得到
?m??m?02??20??22? （7’）
?4?2?22?2?2 由θm的极大值条件??m???0可知，当外激励角频率???0 时，系统发生共振，θm有极大值?m 4.幅频相频特性曲线 引入参数????0?? 于是，我们得到
?m??02??2。
?2kJ，称为阻尼比，它无量纲。
??m?1??????022
??2???0?2 ??arctan2????0?1????0?2
他们随频率比变化的曲线成为幅频相频特性曲线。
三 实验仪器
本实验所用仪器是专门研究振动的波尔共振仪 待测系统由摆轮A和弹簧B组成，
振动的幅度由光电门通过测定缺口移动的个数来测定，
外激励是由转速极为稳定且可调的电机的偏心轴通过连杆和摇杆来加到振动系统上，可看做简谐激励，改变电机转速就改变了周期，
相位差由有机玻璃转盘读数来确定，闪光灯亮时，此时零位标志线所指示的角度就是外激励超前摆轮的角度，每周期闪两次，
阻尼线圈产生电磁阻尼作用于摆轮。
四 实验任务和实验步骤
1．调整仪器使波耳共振仪处于工作状态。
打开电源开关，关断电机和闪光灯开关，阻尼开关置于“0”档， 光电门H、I可以手动微调，避免和摆轮或者相位差盘接触，
手动调整电机偏心轮使有机玻璃转盘F上的0位标志线指示0度， 拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度，松开手后，检查摆轮的自由摆动情况。
2.测量最小阻尼（0档）时的阻尼比δ和固有角频率ω0。
实际测量的是振幅值?j和振动周期Td。具体实验方法为：
开关置于“摆轮”，拨动摆轮使偏离平衡位置150至200度后摆动，由大到小依次
读取显示窗中的振幅值θj；周期选择置于“10”位置，按复位钮启动周期测量，停
止时读取数据10Td。并立即再次启动周期测量，记录每次过程中的10Td的值。
（1）逐差法计算阻尼比δ；
（2）用阻尼比和振动周期Td计算固有角频率ω0。
3. 测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，并求δ。
依照上法测量阻尼（2、3、4）三种阻尼状态的振幅。求出δ、τ、Q。
4. 测定受迫振动的幅频特性和相频特性曲线。开启电机开关，置于“强迫
力”，周期选择置于“1”，调节强迫激励周期旋钮以改变电机运动角频率ω，选择2个或3个不同阻尼比（和任务3中一致），测定幅频和相频特性曲线，注意阻尼比较小（“0”和“1”档）时，共振点附近不要测量，以免振幅过大损伤弹簧；每次调节电机状态后，摆轮要经过多次摆动后振幅和周期才能稳定，这时再记录数据。要求每条曲线至少有12个数据点，其中要包括共振点，即φ=π/2的点。
五 实验结果以及数据处理
1.测量最小阻尼时的阻尼比?与固有角频率?0 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ?j 164 155 154 152 151 149 148 146 145 144 142 141 140 138 137 136 134 133 132 131 129 128 127 126 124 序号 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 ?j Dj=lnθj+5-lnθj 123 122 121 120 118 117 116 115 114 113 112 110 109 108 107 106 105 104 103 102 101 100 099 098 096 -0.28768 -0.23940 -0.24116 -0.23639 -0.24660 -0.24177 -0.24362 -0.23867 -0.24054 -0.24243 -0.23733 -0.24828 -0.25029 -0.24512 -0.24715 -0.24922 -0.24388 -0.24596 -0.24807 -0.25022 -0.24469 -0.24686 -0.24907 -0.25131 -0.25593 125b?2??ln?i?25?ln?i??-9.83814704?10-3
25i?1Sb?125??Dj?D?21??25??43.81?53?6 10b?b??(9.84?0.38)?10?3 由b??2????2?1?2?0.5b2?3 得到?? ?1.57184?10224??b??4?2?d???6?3 ??7?10???b??S?4.4?1032b22??db??4??b????(1.571?0.007)?10?3 序号 Ti?10Td 1 15.403 2 15.411 3 15.418 4 15.425 5 15.432 Td?1.54178 ST?d?5?1.5417?81?0Td0.?0010.001s 00154178110??Ti?Ti?2?5?1??1.139?10?3
?0?2?Td1??2?4.0753
??0??Td?????7?????????6.496009677?100.011016 2?0??Td??1??22???0?2.6473188?10?3
??0??0?(4.0753?0.0026)rad/s
2、其他阻尼状态：测量其他2种或3种阻尼状态的振幅，求出δ、τ、Q。
阻尼档位___1____
序号 θj 1 132 1.541 2 121 1.542 6Td 3 111 1.542 i?64 101 1.543 5 092 1.544 6 084 1.544 7 077 1.545 8 070 1.545 9 064 1.546 10 058 1.546 11 053 1.546 12 048 1.547 1 b?26??ln?i?1?ln?i???0.091742469