南昌大学第三届高等数学(文科类)竞赛试题参考答案
一、填空题(每题3分，共15分) 1．100! 2．21132711?x 3． xsinx(cosx?lnx?sinxx)dx 4．(0,1),(,) 5．?4?? 二、选择题(每题3分，共15分) 1．?B? 2．?C? 3．?C? 4． ?D? 5．?A? 三、（本题满分10分） ?12 解：lim?x?0?sinx?x?cosxsincosx?＝lim?222x?0xxsinx?2x?1234xsin4x2222xx?21＝lim2?x?044xsin2x2?0??? ?0?1 ＝limx?0＝lim＝43x?02212xcos4x?4 ＝lim 2sin4x?424xx?0 四、（本题满分10分） dydt??解： dxdxdtdy1?11?t2t22?t2 ， 1?t dydx22?d?dy?d?dy?dtd?dy?1? ?????????dxdx?dx?dt?dx?dxdt?dx?dtd?t? ????dt?2?12t1?t211?t??22t2?1?1???t?? 4?t? 第 1 页 共 3页
五、（本题满分10分） 解： ?x(x dx4?1)x2??xxdx43(x?1)4?14lnx?1x44?C ?(1?x)xedx???xed(x11?x)??xex1?x??1?x1(1?x)edx x ??xex1?x4?e?C?xxex1?x?C 所以，原式?14lnx?1x4?e1?x?C 六、（本题满分10分） 证明: 设 f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2,???x???. 1?x1?xx?1?x22则 f?(x)?ln(x?1?x)?x??ln(x?1?x) 22?x1?x2 令f?(x)?0得驻点为x?0. 由于f??(x)? f(x)的最小值为f(0)?0. 11?x2?0.知x?0为f(x)的极小值点, 即最小值点. 于是, 对一切x?(??,??),有f(x)?0, 即有不等式 1?xln(x?1?x)?21?x,???x???. 2
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七、（本题满分10分） 解：令u?2t,du?2dt,t?x?u?2x,t?0?u?0 0则 2?tf(2t)dt＝x120?uf(u)du 2x原式两边对x求导得： 2x?032f(t)dt?x?2f(2x)?2x?f(2x)?8x?6x 2x??0232f(t)dt?8x?6x?2f(2x)?24x?12x 2?f(x)?3x?3x 令f'(x)?6x?3?0?x?f?0??0,f?2??6,12 所以最大值为八、（本题满分10分） 3?1?f????4?2?36，最小值为? 4 证明: (Ⅰ) 令F(x)?f(x)?x?1，则F(0)?f(0)?1??1?0，F(1)?f(1)?1?0 ?由零点定理，????0,1?,有F(?)?0，即f(?)?1?? (Ⅱ) 在?0,??上用中值定理. ??1?(0,?),f?(?1)?f(?)?f(0)??0?1??? f(1)?f(?)1???在??,1?上也用中值定理，??2?(?,1),f?(?2)??f?(?1)?f?(?2)?1 ?1?? 九、（本题满分10分） 332解：?(x0?x)f\'(x)dx2＝?(x20?x)df\(x) ＝(x＝(x＝(x?x)f\(x)|?x)f\(x)|?x)f\(x)|3303－?03f\(x)(2x?1)dx 20－?(2x?1)df'(x) 0230－(2x?1)f'(x)|0+?2f'(x)dx 033＝12f\?3?－7f'(3)?f'(0)?2f(3)?2f(0) 由(3,2)是拐点?f\(3)?0 f'(3)?4?22?3??2，f'(0)?4?02?0?2（?l,l的斜率） 12 ?原式＝20
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