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习题7
?7-1．如图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。
解：圆弧在O点的磁感应强度：B1??0I??0I?，方向：?； 4?R6R直导线在O点的磁感应强度：B2??0I4?Rcos600[sin60?sin(?60)]?003?0I2?R?；，方向：
∴总场强：B?
?0I2R(1?)，方向?。 ?337-2．如图所示，两个半径均为R的线圈平行共轴放置，其圆心O1、O2相距为a，在两线圈中通以电流强度均为I的同方向电流。
（1）以O1O2连线的中点O为原点，求轴线上坐标为x的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当a?R时，O点处的磁场最为均匀。
B?解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：
?0IR22(R?z)22232。
（1）左线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP1??0IR2右线圈在x处P点产生的磁感应强度：BP2??BP1和BP2方向一致，均沿轴线水平向右，
∴P点磁感应强度：BP?BP1?BP2?（2）因为BP随x变化，变化率为
3a2[R?(?x)2]22?0IR2?，
3a2222[R?(?x)]2，
?0IR2?23??a2?3a22?[R?(x?)]2?[R?(x?)]2?；
22??2dB，若此变化率在x?0处的变化最缓慢，则O点处的dx磁场最为均匀，下面讨论O点附近磁感应强度随x变化情况，即对BP的各阶导数进行讨论。 对B求一阶导数：
53?0IR2???dBa2a2?5aa22???(x?)[R?(x?)]2?(x?)[R?(x?)]2? dx22222??dB?0，可见在O点，磁感应强度B有极值。 当x?0时，dx对B求二阶导数：
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ddBd2B()?2? dxdxdx?a2a2?5(x?)5(x?)?3?0IR?11??22???? ?5757?2aaaa?[R2?(x?)2]2[R2?(x?)2]2[R2?(x?)2]2[R2?(x?)2]2????2222?2d2B当x?0时，
dx2a2?R2， x?0?3?0IR7a[R2?()2]22d2B可见，当a?R时，?0，O点的磁感应强度B有极小值， 2x?0dx2d2B当a?R时，
dx2d2B当a?R时，
dx2x?0?0，O点的磁感应强度B有极大值，
?0，说明磁感应强度B在O点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀
x?0强磁场。
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
7-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c部分是在xoy 平面内半径为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。 解：∵a段对O点的磁感应强度可用
??S??B?dl??0?I求得，
??0I?0I?j 有：Ba?，∴Ba??4?R4?Rb段的延长线过O点，Bb?0，
??0I??0I?0Ic段产生的磁感应强度为：Bc?，∴Bc????k
4?R4R4R?0I??0I?j+k，方向如图。 则：O点的总场强：BO??4?R4R
7-4．在半径R?1cm的无限长半圆柱形金属片中，有电流I?5A自下而上通过，如图所示。试求圆柱轴线上一点P处的磁感应强度的大小。
解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl?Rd?的长直电流， 有：dI???dld??B?dl??0?I。 ，利用??S?R? 173
在P点处的磁感应强度为：dB??0dI?0Id?， ?22?R2?R∴dBx?dBsin???0Isin?d?，而因为对称性，By?0 22?R?0I??0Isin?d???6.37?10?5T。 那么，B?Bx??dBx?22?02?R?R
7-5．如图所示，长直电缆由半径为R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R2、R3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r处的磁感应强度大小（0?r??）。 解：利用安培环路定理
??S??B?dl??0?I分段讨论。
?r2I（1）当0?r?R1时，有：B1?2?r??0 2?R1∴B1??0Ir； 22?R1?0I； 2?r2?r2??R2I)， （3）当R2?r?R3时，有：B3?2?r??0(I?22?R3??R2（2）当R1?r?R2时，有：B2?2?r??0I，∴B2??IR3?r∴B3?0?2； 22?rR3?R2（4）当r?R3时，有：B4?2?r??0(I?I)，∴B4?0。
22??0Ir(0?r?R1)?2?R21???0I(R1?r?R2)??2?r则：B??
??IR2?r2?0?23(R2?r?R3)2?2?rR3?R2?(r?R3)??0
7-6．一边长为l=0.15m的立方体如图放置在均匀磁场（2）通过立方体六面的总磁通量。 解：（1）通过立方体上（右侧）阴影面积的磁通量为
SSS?????B?(6i?3j?1.5k)T中，计算（1）通过立方体上阴影面积的磁通量；
???????m1??B?dS??(6i?3j?1.5k)?dSi?6??dS?6?0.152?0.135Wb 174
（2）由于立方体左右两个面的外法线方向相反，通过这两个面的磁通量相互抵消，同理，上下两面和前后两面各相互抵消，因此通过立方体六面的总磁通量为0。
7-7．一根很长的直导线，载有电流10A，有一边长为1m的正方形平面与直导线共面，相距为1m，如图所示，试计算通过正方形平面的磁感应通量。
解：将正方形平面分割成平行于直导线的窄条，对距离直导线为x宽度为dx的窄条，通过的磁通量为
d?m?Bldx??m??2?0I?I?1?dx?0dx 2?x2?x通过整个正方形平面的磁通量为
1?0I?Idx?0ln2?1.4?10?6Wb 2?x2?
7-8．如图所示，在长直导线旁有一矩形线圈，导线中通有电流I1?20A，线圈中通有电流I2?10A，已知d=1cm,b=9cm,l=20cm，求矩形线圈上所受到的合力是多少？
解：矩形线圈上下两边所受的磁力相互抵消。
?0I1?8?10?4N 方向向左 2?d?0I1?8?10?5N方向向右 矩形线圈右边所受的磁力为 F2?I2lB2?I2l2?(d?b)?4矩形线圈上所受到的合力为 F?F1?F2?7.2?10N 方向向左
矩形线圈左边所受的磁力为 F1?I2lB1?I2l
7-9．无限长直线电流I1与直线电流I2共面，几何位置如图所示， 试求直线电流I2受到电流I1磁场的作用力。 解：在直线电流I2上任意取一个小电流元I2dl， 此电流元到长直线的距离为x，无限长直线电流I1 在小电流元处产生的磁感应强度为：
B??0I1?，
2?x?0I1I2dxdx再利用dF?IBdl，考虑到dl?，有：dF?， ?cos6002?xcos600?0I1I2bb?0I1I2dx∴F????ln。 0a2?xcos60?a
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7-10．一半径为R的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。
解：设半圆柱面导体的线电流分布为i?I1， ?R如图，由安培环路定理，i电流在O点处产生的磁感应强度为：
dB??0i?Rd?， 2?R?0iR??0I1可求得：BO??dBy?sin??d??2； ?02?R?R???又∵dF?Idl?B，
?0I1I2dl， 故dF?BOI2dl??2RdF?0I1I2有：f??2，而I1?I2，
dl?R2dF?0I所以：f??2。
dlπRydB???O
7-11．有一根U形导线，质量为m，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l，处在磁感应强度大小为B的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U导线就会从水银槽中 跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h计算电流脉冲的电荷量q。
dvdq， ?BIl，而I?dtdtvmmv则：mdv?Bldq，积分有：q??； dv?0BlBl12mvm又由机械能守恒：mv?mgh，有：v?2gh，∴q??2gh。
2BlBl解：接通电流时有F?BIl?m
7-12．截面积为S、密度为?的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴OO?转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度?而平衡，求磁感应强度。 解：设正方形的边长为a，质量为m，m??aS。 平衡时重力矩等于磁力矩：
???202由M?pm?B，磁力矩的大小：M?BIasin(90??)?BIacos?；
a重力矩为：M?mgasin??2mg?sin??2mgasin?
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