由
法9 （构造均值不等式） 结论中等号成立的条件是 由
两式相加得：法10 （构造二项式）
得：
解得
，
即
因为 = +
，
所以
法11（构造数列） 由
得
成等差数列，不妨设
，公差
，即
法12（构造向量） 令
再令得 ∴
法13（构造立方体） 构造4个边长为
即
由
和4个边长为的立方体．不妨设 ，将这8个立方体按下图拼接成边长为p+q的
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立方体，拼接过程中，将多余部分（图1中阴影）挖去，显然有
法14（构造曲线） 在直角坐标系中作出直线、圆
++++++++++65
，并借助几何画板或图形计算器作出三次曲线
的图象．
令
，
如图2 ，
则
图2
法15（构造分布列） 由于
，设离散型随机变量的分布列为：
P ， ，由
7
，
得 ， ，所以 ，即
在探索解法过程中，你有哪些启示，你还能变换条件或结论得出其它问题吗？你能类比或联想得一些不等式吗？你能证明或否定它们吗？把你的所思所想记录下来，让我们共同分享吧！下面是学生的所得的一些变式题. 变式1：（改变结论）若变式2：（改变条件）若 变式3：（弱化条件）若变式4：（推广）若变式5：（引申）若
变式6：（条件、结论互换）若变式7：（再引申）若变式8：（再推广）若
波利亚说“好问题同某种蘑菇有类似的结论，大都成堆的生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能在附近就有几个”．本案例通过一题多解，一题多变的探究，既复习了不等式的证明方法，又加强不同章节知识间的联系，优化了学生数学的思维结构，享受到了成功的快乐． 4.4 利用信息技术开展数学探究
现代信息技术的发展为学生开展数学探究开辟了新的局面，网络资源、数学软件为数学探究提供了新的平台和新的手段.其中几何画板、TI图形计算器便是大家公认的优秀数学软件，它们具有强大的数据处理功能、函数功能、图形功能、交互式动态几何功能，利用它们可以进行一些数理实验，绘制各种图形并进行动态演示、跟踪轨迹，为探索数学奥秘构建了一个理想的实验室，给学生的发展提供了巨大的探索与实验空间．
在高三复习过程中，经常遇到一些创新性的、难度较大的问题或者较抽象的问题，对于这类问题，学生一般无从下手，这时就可以利用信息技术的优势进行验算、数据分析、作出图形、追踪轨迹，由特殊到一般，由直观到抽象，发现规律，然后进行理性研究．
案例4 （2003年全国高中联赛15题）一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点A/刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．
，
，
且
则 ，则
，则
，
，则
，
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这道题对学生来说有一定的困难，难就难在画图．但利用几何画板或图形计算器便很容易显示这些折痕的所在轨迹，是以O、A为焦点的椭圆的外部（如图3），而且还可以进一步探索当点A在圆O的外部时，则折痕所在直线上点的集合是一双曲线的外部，最后利用圆锥曲线的定义去证明．
借助信息技术，学生利用各种软件，可以亲手处理数据或绘制图形，对问题进行主动试验、猜想、推断、发现探索，验证新知识，对学习对象进行多维表征以及多样化的应用，从而完成对知识意义的构建，达到对知识的全面理解,这样通过多维表征所建构的知识，能较好地迁移到其他领域，也能使学生有更多的机会动手动脑、思考与探索，学到科学的研究方法，获得丰富且多方面的体验，在真正意义上尊重学生的创造性，充分挖掘学生的潜力，有力促进学生创新精神和实践能力的发展． 5 开展数学探究应注意的问题 5.1 选择合适的探究性问题
任何一个探究性问题都需要有一定的“知识附着点”，即对学习新知识、解决新问题起支撑作用的原有知识，或者说将其固定于原有认知结构中的那些知识．潜在距离是指“知识附着点”与新的认知目标之间的距离，亦即新旧知识（问题）的接近程度．探究性问题的设计应注意潜在距离的分析，因为“知识附着点”与所探问题的潜在距离的大小，直接影响探究活动的难易稳度和教学水平，一般来说，当两者的潜在距离较小时，容易为学生所理解和掌握，没有探究的价值．当两者的潜在距离过大时，虽能增加探究问题的挑战性，激发学生的探索欲望，但容易使探究活动难以展开，老师也难以调控．因而在实施探究教学时，必须选取难易适度的学习材料，所探究的问题应在学生思维的最近发展区． 5.2 老师给与适当的指导
由于探究学习并不是把知识从外界搬运到记忆之中，而是以已有的经验为基础，通过与外界的相互作用来建构新的理解，因此相应的教学过程就应呈现动态性和生成性，即不仅要求学生积极主动、自主探究，更要求教师给出必要的、科学的、有效的指导，这也就是说，教师在学生探究活动中不应是旁观者的角色，而就主动地“介入”．但要注意三点：（1）选择适当的介入时机，介入过早，就可能打破学生已形成的探究氛围；介入过晚，就可能使得探究活动因无序而无法进行；（2）选择恰当的脚手架，对“潜在距离”较大，即探究路径由较多认知节点构成（或某些节点的间距过大）的探究问题而言，教师的重要任务就是搭建合适的“脚手架”，使学生能“跳一跳，够得到”；（3）选择恰当的介入方式，教师既是外部监控者，又是参与者和支持者，从而相应的指导方式也应多元化，除去上述的搭建“脚手架”外，还有对话式（民主平等的对话交流），暴露式（暴露教师自己的思路）等．
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