课时跟踪训练(八) 二项式系数的性质
1．(x－1)展开式中x的偶次项系数之和是( ) A．－2 048 C．－1 024
1
2211
B．－1 023 D．1 024
A．x＝4，n＝3 B．x＝4，n＝4
C．x＝5，n＝4
2．若Cnx＋Cnx＋…＋Cnx能被7整除，则x，n的值可能为( )
拼十年寒窗挑灯苦读不畏难；携双亲期盼背水勇战定夺魁。如果你希望成功，以恒心为良友，以经验为参谋，以小心为兄弟，以希望为哨兵。nn
D．x＝6，n＝5
?1?n3．若?x＋?展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
?
x?
A．10 C．30
B．20 D．120
1?4?4．在?ax－?的展开式中各项系数之和是16.则a的值是( )
?x?
A．2 C．4
2
9
B．3 D．－1或3
2
11
5．若(x＋1)(2x＋1)＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)＋…＋a11(x＋2)，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为________．
6．若(2x＋3)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x，则(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)的值为________．
7．已知(1＋3x)的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．
8．对二项式(1－x)，
(1)展开式的中间项是第几项？写出这一项． (2)求展开式中各二项式系数之和．
(3)求展开式中除常数项外，其余各项的系数和．
104
2
3
4
2
2
n 1
答案
1．选C 令f(x)＝(x－1)，偶次项系数之和是
1
22
11
f＋f－
2－＝2
11
＝－1 024.
2．选C 由Cnx＋Cnx＋…＋Cnx＝(1＋x)－1分别将选项A，B，C，D代入检验知，仅有x＝5，n＝4适合．
3．选B 由2＝64，得n＝6，∴Tk＋1＝C6x＝C6xk6－2knk6－knnn?1?k
?x???
(0≤k≤6，k∈N)．
3
由6－2k＝0，得k＝3.∴T4＝C6＝20.
4．选D 由题意可得(a－1)＝16，a－1＝±2， 解得a＝－1或a＝3.
5．解析：令x＝－1，则原式可化为[(－1)＋1][2×(－1)＋1]＝－2＝a0＋a1(2－1)＋…＋a11(2－1)，∴a0＋a1＋a2＋…＋a11＝－2.
答案：－2
6．解析：(a0＋a2＋a4)－(a1＋a3)＝(a0＋a2＋a4＋a1＋a3)·(a0＋a2＋a4－a1－a3)＝(a0
＋a1＋a2＋a3＋a4)·(a0－a1＋a2－a3＋a4)，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(2＋3)，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－2＋3)＝(2－3)，于是(2＋3)·(2－3)＝1.
答案：1
7．解：由题意知Cn＋Cn＋Cn＝121， 即Cn＋Cn＋Cn＝121， ∴1＋n＋
0
1
2
4
4
4
4
4
2
2
11
2
9
4
nn－1n－2
nn－
2
＝121，即n＋n－240＝0，
2
解得n＝15或－16(舍)．
∴在(1＋3x)的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项． 且T8＝C15(3x)＝C153x，
8888T9＝C815(3x)＝C153x.
7
7
7
77
15
8．解：(1)展开式共11项，中间项为第6项，
55T6＝C510(－x)＝－252x.
(2)C10＋C10＋C10＋…＋C10 ＝2＝1 024.
10
01210
2
(3)设(1－x)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a10x. 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0. 令x＝0，得a0＝1. ∴a1＋a2＋…＋a10＝－1.
10210
3