高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)
一、选择题
x2y2
1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值
62
2
为( )
A．－2 C．－4 [答案] D
[解析] 椭圆中，a2＝6，b2＝2，∴c＝a2－b2＝2， p
∴右焦点(2,0)，由题意知＝2，∴p＝4.
2
2．已知点M是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，F为抛物线的焦点，若以|MF|为直径作圆，则这个圆与y轴的关系是( )
A．相交 C．相离 [答案] B
[解析] 如图，由MF的中点A作准线l的垂线AE，交直线l于点E，交y轴于点B；由点M作准线l的垂线MD，垂足为D，交y轴于点C，
B．相切
D．以上三种情形都有可能
B．2 D．4
则MD＝MF，ON＝OF， OF＋CMON＋CM
∴AB＝＝
22＝
DMMF＝， 22
∴这个圆与y轴相切．
3．(2010·山东文)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 C．x＝2 [答案] B
x1＋x2y1＋y2y1＋y2[解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点(，)，∴＝2，∵A、
222
B．x＝－1 D．x＝－2
B在抛物线y2＝2px上，
2??y1＝2px1 ①∴?2 ?y＝2px ②?22
①－②得y12－y22＝2p(x1－x2)，
y1－y22pp∴kAB＝＝＝，∵kAB＝1，∴，p＝2
x1－x2y1＋y22
∴抛物线方程为y2＝4x，∴准线方程为：x＝－1，故选B.
x2y2
4．双曲线－＝1的渐近线上一点A到双曲线的右焦点F的距离等于2，抛物线y2
94＝2px(p>0)过点A，则该抛物线的方程为( )
A．y2＝9x
B．y2＝4x 213
D．y2＝x
13
413
C．y2＝x
13[答案] C
x2y22
[解析] ∵双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，F点坐标为(13，0)，设A点坐标
9432
为(x，y)，则y＝±x，由|AF|＝2?3
2?2962x＝2?x＝?x－13?2＋?，y＝±，代入y＝2px?3?1313
213413
得p＝，所以抛物线方程为y2＝x，所以选C.
1313
5．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A.17 2
B．3 9D. 2
C.5 [答案] A
1?
[解析] 记抛物线y2＝2x的焦点为F?准线是l，由抛物线的定义知点P到焦点F?2，0?，的距离等于它到准线l的距离，因此要求点P到点(0,2)的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点(0,2)的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合图形不难得知相应的最小值就等于焦点F与点(0,2)的距离，因此所求的最小值等于
?1?2＋22＝17，选A. ?2?2
6．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3?1，则点A的坐标为( )
A．(2,22) C．(2，±2)
B．(2，－22) D．(2，±22)
[答案] D
[解析] 如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，
∴
S△AMF
＝＝3， S△AOF1
×|OF|×|AF|×sin?π－∠MAF?2
1
×|AF|×|AM|×sin∠MAF2
2yy020??∴|AM|＝3，设A?4，y0?，∴＋1＝3，
4
y02
解得y0＝±22，∴＝2，
4∴点A的坐标是(2，±22)，故选D.
7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5)的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0)的焦点，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2x C．y2＝4x [答案] D
→
[解析] 设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5)的直线上任一点Q(x，y)，则PQ∥a，x＋3y－1∴＝，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－
2－5m?y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F??4，0?，∴m＝－4，故选D.
8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是( )
3
B．y2＝－x
2D．y2＝－4x
[答案] A
m
[解析] 若mn>0，则mx2＋ny2＝1应为椭圆，y2＝－x应开口向左，故排除C、D；∴
n