两角差的余弦公式(提高)
【学习目标】
1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用. 2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.
【要点梳理】
要点一：两角差的余弦公式 1．两角差的余弦公式的推导：
（1）如图，在平面直角坐标系xoy内作单位圆O，以Ox为始边作角?,?，它们的终
????????边与单位圆O的交点分别为A,B，则OA?(cos?,sin?),OB?(cos?,sin?)
????????????????OA?OB?|OA||OB|cos(???)?cos(???)，结合向量数量积的坐标表示，有 ????????OA?OB?cos?cos??sin?sin?
所以cos(???)=cos?cos??sin?sin? （*）
（2）由以上的推导过程可知，?,?是任意角，则???也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的?????0,??．为此，我们讨论如下：
由于???是任意角，由诱导公式，总可以找到一个角
由向量数量积的概念，有
???0,2??，使
co?s?co?s?(?．
????????①若???0,??，则OA?OB?cos??cos(???)．
????????②若????,2??，则2?????0,??，且OA?OB?cos(2???)?cos??cos(??)?由以上的讨论可知，对于任意的?,?，都有： cos(???)=cos?cos??sin?sin? C?????
2．公式的记忆
右端为?,?的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反． 要点诠释：
(1)公式中的?、?都是任意角．
(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即cos??????cos??cos?．
(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余
弦．
要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用 1．逆用
cos?cos??sin?sin?=cos(???) 要点诠释：
公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题.如：由cos50?cos20??sin50?sin20?能迅速地想到
cos50?cos20??sin50?sin20??cos?50??20???cos30??32． 2．角变换后使用
cos??cos?(???)????cos(???)cos??sin(???)sin?．
3．移项运用
cos?cos??cos(???)?sin?sin? sin?sin??cos(???)?cos?cos?
4．特殊化使用
cos(?????2)?cos2cos??sin2sin??sin?
5．以??代?
cos???(??)??cos?cos(??)?sin?sin(??)
即cos??????cos?cos??sin?sin? 【典型例题】
类型一：利用差角的余弦公式进行证明 例1．求证：
（1）cos(???)?cos?cos??sin?sin? （2）sin(???)?sin?cos??cos?sin?
【思路点拨】（1）用??代?，利用两角差的余弦公式展开．sin?(???)c?????o2s???(???及两角和的余弦公式可证得．) 【证明】（1）cos(???)=cos???(??)??cos?cos(??)?sin?sin(??)
=cos?cos??sin?sin? （2）sin(???)?cos????2?(???)????cos???(?2??)????? =cos(??2??)cos??sin(2??)sin?
=sin?cos??cos?sin?
sin(???)?cos????????2?(???)???cos??(2??)????
=cos(?2??)cos??sin(?2??)sin?
=sin?cos??cos?sin?
2）利用
（举一反三：
【变式1】cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin? 证明：cos2??cos(???)?cos?cos??sin?sin? =cos??sin? =cos2??(1?cos2?) =2cos??1 =2(1?sin2?)?1
=1?2sin?
类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式 例2．（1）cos?（2）cos(22222222????5??2???x??2cos???x??3cos??x?； ?6??6??3?334?4????3x)?cos(?3x)?sin(?3x)?sin(?3x)．
【解析】 （1）原式
?cos
?6cosx?sin?6sinx?2cos5?5?2?2?cosx?2sinsinx?3coscosx?3sinsinx6633??2????cos?2cos?3sin333??2????sinx?sin?2sin?3cos??333????cosx ??1?33?3????2?1?3?2??sinx???2?3?2??cosx?0． ????（2）原式=cos( =cos( =cos?4?3x??3?3x)
??)
34??3431232 =? ??22222?6 =
4cos??sin?sin?4
【总结升华】 两角差的余弦公式中，?，?可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（
?4?3x）可视为一个整体．分
析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型． 举一反三：